משפט הקטגוריה של בר
פעולות נוספות
משפט הקטגוריה של בר (Baire) הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. המשפט קובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בר.[1]
המשפט מהווה בסיס מרכזי להוכחת משפטים חשובים אחרים, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס. המשפט מוכיח כי המרחבים <math>\mathbb{R}^n</math> הם מרחבי בר עם הטופולוגיה הסטנדרטית.
המשפט הוכח לראשונה בשנת 1899 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.[2]
מונחים בסיסיים עריכה
בהינתן מרחב טופולוגי <math>X</math> וטופולוגיה <math>\mathcal{T}</math>:
- קבוצה <math>N\subseteq X</math> תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה לא ריקה <math>U\in \mathcal{T}</math> קיימת תת-קבוצה פתוחה לא ריקה <math>\mathcal{T}\ni V\subseteq U</math> כך ש-<math>N\cap V=\emptyset </math>. לחלופין, הפנים של הסגור של <math>N</math> ריק.
- קבוצה <math>A\subseteq X</math> תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא יכולה להכתב כאיחוד בן מניה של קבוצות דלילות.
- המרחב <math>X</math> כולו ייקרא מרחב בר אם ורק אם לכל תת-קבוצה <math>A\subseteq X</math> מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.
באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי.
ניסוח המשפט עריכה
למשפט שני ניסוחים:
משפט בר הראשון: יהי <math>X</math> מרחב מטרי שלם. אזי, <math>X</math> הוא מרחב בר.
משפט בר השני: יהי <math>X</math> מרחב רגולרי קומפקטי מקומית. אזי <math>X</math> הוא מרחב בר. הדבר נכון בפרט כאשר <math>X</math> הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.
תקציר הוכחת המשפט עריכה
נתון מרחב טופולוגי <math>X</math> וטופולוגיה <math>\mathcal{T}</math> העונה לתנאים של אחד המשפטים לעיל. כמו כן, נתונה קבוצה מקטגוריה ראשונה <math>A\subseteq X</math>. כדי להוכיח ש-<math>X</math> הוא מרחב בר, יש להוכיח כי הפנים של <math>A</math> ריק. מספיק להוכיח כי לכל קבוצה פתוחה <math>U\in \mathcal{T}</math> קיימת נקודה שאינה ב-<math>A</math>, כלומר <math>U\cap A^\complement \neq \emptyset</math>.[3]
כיוון ש-<math>A</math> קבוצה מקטגוריה ראשונה, ניתן להגדיר <math>A=\bigcup A_n</math> כאשר <math>A_n</math> קבוצות דלילות. בונים סדרה של קבוצות קומפקטיות <math>\{B_n\}_{n=1}^\infty</math> כך שלכל <math>n\in\mathbb{N}</math>:
- <math>\operatorname{Int}(B_n)</math> (הפנים של <math>B_n</math>) לא ריק, ולכן גם <math>B_n</math> לא ריק.
- <math>B_n\subseteq U\cap A_n ^\complement </math>
- <math>B_{n+1}\subset\operatorname{Int}(B_n)</math>.
יש לשים לב כי בשתי גרסאות המשפט מובטח כי כל קבוצה קומפקטית היא סגורה, לכן <math>B_n</math> קבוצות סגורות. כאשר מדובר במרחב מטרי, <math>B_n</math> נבנים בעזרת כדורים סגורים. במקרה של מרחב טופולוגי קומפקטי מקומית, בונים את <math>B_n</math> על-ידי לקיחת סביבה קומפקטית לאיבר כלשהו מ-<math>B_{n-1}</math> העומדת בתנאים.
כעת מגדירים <math>B:=\bigcap_{n=1}^\infty{B_n}</math>. יש להוכיח כי <math>B</math> אינו ריק. מניחים בשלילה כי <math>B</math> קבוצה ריקה. לכן משפחת המשלימים <math>\{ B_n^\complement \}_{n=2}^\infty</math> היא כיסוי פתוח של <math>B_1</math>. בגלל הקומפקטיות של <math>B_1</math> קיים תת-כיסוי סופי. ניתן להסיק מכך כי קיים <math>n\ge 2</math> כך ש-<math>B_1\subseteq B_n^\complement</math>. מצד שני <math>\emptyset\ne B_n\subset B_1</math>, וזו סתירה.
מכיוון ש-<math>B</math> אינו ריק, קיים <math>x\in B</math>. לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>x\in B\subseteq B_n\subseteq U\cap A_n^\complement</math>. לכן:
<math>x\in U\cap\bigcap_{n=1}^\infty{A_n^\complement}=U\cap\left(\bigcup_{n=1}^\infty{A_n}\right)^\complement=U\cap A^\complement</math>
משמע <math>U\cap A^c \neq \emptyset</math>, ובכך מוכיחים את המשפט. מ.ש.ל.
מסקנות מן המשפט עריכה
- במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת המקסימום, אוסף הפונקציות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה ניתנה על ידי ויירשטראס בשנת 1872.
- כאמור, ניתן להסיק ממשפט הקטגוריה של בר מספר משפטים חשובים באנליזה פונקציולית, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס.
- קבוצת הנקודות הרציונליות על הישר הממשי אינה קבוצת <math>G_\delta</math> (קבוצה הניתנת להצגה כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).
- אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות (פונקציית רימן מקיימת את המקרה ההפוך).
- סדרת פונקציות רציפות שמתכנסת נקודתית מתכנסת לפונקציה רציפה כמעט בכל מקום (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).
הערות שוליים עריכה
- ^ Eric W. Weisstein, Baire Category Theorem, mathworld.wolfram.com (ב־English)
- ^ René Baire, Sur les fonctions de variables réelles, Bernardoni de C. Rebeschini, 1899. (בfrançais)
- ^ Alan Sokal, THE BAIRE CATEGORY THEOREM AND ITS CONSEQUENCES, University College London, 2013 (ב־English)