משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות
פעולות נוספות
משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות (ידוע גם כמשפט הממד השני, משפט הממדים השני, ומשפט הדרגה והאפסות) הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין ממד התחום לבין ממד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.
בכתיב מתמטי: יהיו <math>U</math> ו-<math>V</math> מרחבים וקטורים מעל שדה <math>F</math>. נגדיר את <math>f</math> להיות העתקה ליניארית, <math>f:U\rightarrow V</math>, אזי <math display="block">\dim_F Im(f) + \dim_F \ker(f) = \dim_F U</math>.
הוכחת המשפט עריכה
אסטרטגיה עריכה
נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום ממד התמונה וממד הגרעין שווה לממד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.
הוכחה עריכה
בחירת סדרות וקטורים מתאימות עריכה
נקח את <math>u_1,...,u_k</math> להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת <math>v_1,...,v_m</math> להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, ממד הגרעין הוא <math>k</math> וממד התמונה הוא <math>m</math>. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את <math>v_1,...,v_m</math> כך: <math>f(w_1),...,f(w_m)</math>, (כאשר <math>w_1,\dots,w_m</math> וקטורים ב-<math>U</math>). צריך להוכיח שממד התחום הוא <math>m+k</math>. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> מהווה בסיס של התחום <math>U</math>.
הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב <math>U</math> עריכה
נראה כי <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)=U</math>. תחילה, נראה כי <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\subseteq U</math>: כל וקטור בסדרת הווקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> מוכל ב-<math>U</math> בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\subseteq U</math>. כעת, נראה כי <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\supseteq U</math>: נקח וקטור כללי מ-<math>U</math> ונסמנו <math>u</math>. נתבונן בהצגה היחידה של <math>f(u)</math> על ידי בסיס התמונה: <math>f(u) = a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m</math>. כעת, נתבונן בווקטור <math display="block">u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) \in U</math> (ששייך ל-<math>U</math>, מכיוון ש-<math>U</math> הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה <math>f</math> על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו-<math>f</math> היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים: <math display="block"> f(u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m)) = f(u) -(a_1\cdot f(w_1)+...+a_m\cdot f(w_m)) = a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m - (a_1\cdot v_1+...+a_m\cdot v_m) = 0 </math> לכן נובע ש-<math>u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) \in \ker(f)</math>, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין: <math display="block">u-(a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m) = b_1\cdot u_1+...+b_k\cdot u_k</math>ולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של <math>u</math> על ידי צירוף הווקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math>:
<math display="block">u = a_1\cdot w_1+...+a_m\cdot w_m + b_1\cdot u_1+...+b_k\cdot u_k</math>
ולכן, <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)\supseteq U</math>. קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן <math>Span(w_1,...,w_m,u_1,...,u_k)=U</math>.
הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית עריכה
כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים <math>c_1,...,c_m,s_1,...,s_k</math> הצירוף הליניארי של הווקטורים <math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> מביא לאפס המרחב הווקטורי. צריך להוכיח כי <math>c_1=...=c_m=s_1=...=s_k=0_F</math> (תנאי שקול לאי תלות ליניארית). לפי הנחה זו: <math display="block">c_1w_1+...+c_mw_m+s_1u_1+...+s_ku_k = 0_U</math> נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית <math>f</math>: <math display="block">f(c_1w_1+...+c_mw_m+s_1u_1+...+s_ku_k) = c_1f(w_1)+...+c_mf(w_m) + 0 + ...+ 0 = c_1v_1+...+c_mv_m = 0</math> (הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0). ואם כן מכיוון ש-<math>v_1,...,v_m</math> בסיס של התמונה, אזי המקדמים <math>c_1,...,c_m</math> הם אפסים (מכיוון שהווקטורים <math>v_1,...,v_m</math> בלתי תלויים ליניארית). ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל <math>0\cdot w_1+...+0\cdot w_m+s_1u_1+...+s_ku_k = 0_U</math> ומאותם שיקולים של היות <math>u_1,...,u_k</math> בסיס, נובע ש-<math>s_1,...,s_k</math> אפסים. ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש-<math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.
סיכום עריכה
הראנו ש-<math>w_1,...,w_m,u_1,...,u_k</math> סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את <math>U</math> ולכן הם מהווים בסיס עבור <math>U</math>. אם כן, נשים לב שממדו של <math>U</math> הוא <math>m+k</math>. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את ממד התמונה להיות <math>m</math> וממד הגרעין להיות <math>k</math>, אזי לפיכך נקבל: <math display="block">\dim_F Im(f) + \dim_F \ker(f) = \dim_FU</math> שזה מה שצריך להוכיח.
קישורים חיצוניים עריכה
- Chris Fama, MP274 Lecture Notes 1991, numbertheory
- משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות, באתר MathWorld (באנגלית)