משפט דקארט (מתמטיקה)
פעולות נוספות
בגאומטריה, משפט דקארט קובע כי על כל ארבעה מעגלים שמשיקים פנימית, או חיצונית, רדיוסי המעגלים מקיימים משוואה ריבועית מסוימת. על ידי פתרון המשוואה הזו, אפשר לבנות מעגל רביעי המשיק לשלושת המעגלים הנתונים כך שכולם ישיקו אחד לשני. המשפט נקרא על שמו של רנה דקארט, שגילה אותו ב-1643.
השיר The Kiss Precise של פרדריק סודי משנת 1936 מסכם את המשפט במונחים של עיקולים (רדיוסים ביחס הפוך) של ארבעת העיגולים:
"הסכום של כל העיקולים בריבוע שווה לחצי מסכום ריבועי העיקולים"
במקרים מיוחדים של המשפט ניתן להחליף אחד או שניים מהמעגלים בישר (מעגל עם עיקול אפס). גרסה של המשפט באמצעות מספרים מרוכבים מאפשרת לחשב את מרכזי המעגלים, ולא רק את הרדיוסים שלהם. עם הגדרה מתאימה של עקמומיות, המשפט חל גם בגאומטריה כדורית ובגאומטריה היפרבולית. בממדים גבוהים יותר, משוואה ריבועית אנלוגית זו חלה על מערכות של ספירות משיקות או אפילו היפר ספירות.
המשפט עריכה
משפט דקארט נאמר בצורה הכי בסיסית במונחים של עקמימות (עיקוליות) המעגלים. סימן והעקמומיות של מעגל מוגדרים בתור {{{1}}} כאשר <math>r</math> הוא הרדיוס שלו. ככל שהמעגל גדול יותר, כך גודל העקמומיות שלו קטן יותר, ולהפך. הסימן <math>k=\pm1/r</math> (מיוצג על ידי <math>\pm</math>) חיובי עבור מעגל המשיק מבחוץ למעגלים האחרים. ואילו עבור מעגל המשיק פנימית אל המעגלים האחרים ותוחם אותם, הסימן שלילי. אם ישר נחשב למעגל בעל עקמומיות אפס (ולפיכך רדיוס אינסופי), משפט דקארט חל גם על ישר ושלושה עיגולים ששלושתם משיקים אחד לשני.
לארבעה עיגולים המשיקים זה לזה בשש נקודות ברורות, עם עקומות <math>k_i</math> {{{1}}} משפט דקארט גורס כי:
{{{1}}}
אם אחת מארבע העקמומיות נחשבת למשתנה, והשאר לקבועים, זוהי משוואה ריבועית. כדי למצוא את הרדיוס של מעגל רביעי המשיק לשלושה העיגולים הנתונים, ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בדי קלות:
{{{1}}}
הפלוס ומינוס מציין שבאופן כללי למשוואה הזו יש שני פתרונות, ולכל שלושה מעגלים המשיקים זה לזה יש שני מעגלים משיקים (או ישרים- מעגלים עם עקמומיות אפס). בינתן לפרטי השאלה ניתן לדעת איזה פתרון מתאים למערכת המעגלים.
המשפט אינו חל על מערכות מעגלים עם יותר משני מעגלים המשיקים זה לזה באותה נקודה. זה מחייב שנקודות ההשקה יהיו מופרדות. כאשר יותר משני מעגלים משיקים בנקודה אחת, יכולים להיות אינסוף מעגלים כאלה, עם עקמומיות שרירותיות; ראה עיפרון עיגולים .
מציאת מרכזי המעגל עריכה
כדי לדעת מעגל באופן מוחלט, יש לדעת לא רק את הרדיוס שלו (או העקמומיות), אלא גם את מרכזו. המשוואה הרלוונטית באה לידי ביטוי בצורה המלאה ביותר אם הקואורדינטות הקרטזיות <math>(x,y)</math> מתפרשים כמספר מרוכב <math>z=x+iy</math> . המשוואה אז נראית דומה גם כן למשפט דקארט ולכן נקראת משפט דקארט המורכב . נתון ארבעה עיגולים עם עקומות <math>k_i</math> ומרכזים <math>z_i</math> for <math>i\in\{1,2,3,4\}</math>, השוויון הבא מתקיים בנוסף למשוואה שמצאנו קודם:
{{{1}}}
מרגע ש<math>k_4</math> נמצא באמצעות משוואת דקארט הרגילה אפשר להמשיך לחישוב <math>z_4</math> על ידי פתרון המשוואה כמשוואה ריבועית:
<math display="block">z_4 = \frac{z_1 k_1 + z_2 k_2 + z_3 k_3 \pm 2 \sqrt{k_1 k_2 z_1 z_2 + k_2 k_3 z_2 z_3 + k_1 k_3 z_1 z_3} }{k_4}.</math>
שוב, באופן כללי יש שני פתרונות <math>z_4</math> המתאימים לשני הפתרונות <math>k_4</math>. סימן הפלוס/מינוס בנוסחה לעיל <math>z_4</math> מתאר אותם.
מקרים מיוחדים עריכה
שלושה מעגלים חופפים עריכה
כאשר שלושה מתוך ארבעת המעגלים חופפים, המרכזים שלהם יוצרים משולש שווה-צלעות, וכך גם נקודות ההשקה שלהם. שתי האפשרויות למעגל רביעי המשיק לשלושתם הן קונצנטריות, והמשוואה מצטמצמת ל-
<math display="block">k_4 = (3 \pm2 \sqrt{3})k_1.</math>
קו ישר אחד או יותר עריכה
אם אחד משלושת המעגלים מוחלף על ידי קו ישר המשיק למעגלים הנותרים, אז העקמומיות שלו היא אפס וכל היוצא מזה מובע במשוואה. למשל, אם {{{1}}} אז ניתן לחלק לגורמים את המשוואה המקורית.
<math display="block">\begin{align} & \bigl(\sqrt{k_1} + \sqrt{k_2} + \sqrt{k_4}\bigr) \bigl({\sqrt{k_2} + \sqrt{k_4} - \sqrt{k_1}}\bigr) \\[3mu] & \quad {} \cdot \bigl(\sqrt{k_1} + \sqrt{k_4} - \sqrt{k_2}\bigr) \bigl(\sqrt{k_1} + \sqrt{k_2} - \sqrt{k_4}\bigr) = 0, \end{align}</math>
ואילו הפתרון הוא:
<math display="block">k_4=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.</math>
נטילת השורש הריבועי של שני הצדדים מובילה לניסוח חלופי נוסף של מקרה זה ( <math>k_1\ge k_2</math>),
<math display="block">\sqrt{k_4}=\sqrt{k_1}\pm \sqrt{k_2},</math>
שתוארה כ"מעין גרסה חלשה של משפט פיתגורס ".
אם שני מעגלים מוחלפים בקווים, במקרה זה, {{{1}}} והמשוואה נהיית טריוויאלית.
<math display="block">\displaystyle k_4=k_1.</math>
זה מתאים לתובנה שאומרת שכדי שכל ארבע העקומות יישארו משיקות זה לזה, על שני המעגלים האחרים להיות זהים.
