משפט בלוך-לנדאו

באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית <math>f</math> בעיגול היחידה המקיימת <math>|f'(0)|=1</math>. המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן. הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.

משפט בלוך

משפט בלוך - תהי <math>f</math> פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת <math>|f'(0)|=1</math>. אזי קיים קבוע <math>b>0</math> כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס <math>b</math>. כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית <math>g</math> כך ש-<math>g \circ f</math> היא הזהות על כדור כנ"ל.

הקבוע האופטימלי <math>B</math> שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום. בכל זאת, ידוע חסם לא רע - <math>0.4332\approx\frac{\sqrt{3}}{4}+2\times10^{-4}\leq B\leq \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{11}{12})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\approx 0.4719</math>.

משפט לנדאו

משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי <math>f</math> פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת <math>|f'(0)|=1</math>. אזי תמונת <math>f</math> מכילה כדור ברדיוס חיובי <math>l>0</math>.

הקבוע האופטימלי <math>L</math> המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי <math>L>\frac{1}{16}</math>, וטיעונים מסובכים יותר מראים כי <math>0.5<L<0.544</math> בערך. גם הערך של <math>L</math> לא ידוע.

משפט ואלירון

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון. משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.

משפט ואלירון - אם <math>f</math> פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול <math>D</math> ופונקציה אנליטית <math>\phi : D \to \mathbb{C}</math> כך ש-<math>\forall z \in D : f(\phi(z))=z</math>.

למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.

יישומים

במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:

משפט: אם <math>f</math> פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.

הוכחה: <math>f</math> לא קבועה, תהי <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> עבורה <math>f'(z_0) \neq 0</math>. נגדיר <math>\psi (z)=\frac{1}{16} f(\frac{16}{f'(z_0)} z+ z_0)</math>. אז <math>\psi</math> מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס <math>\frac{1}{16}</math>, ולכן מתקיים הדרוש.

ראו גם

• משפטי פיקארד

קישורים חיצוניים

• משפט בלוך-לנדאו, באתר MathWorld (באנגלית)