משוואת ריינולדס

משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.

המשוואה הכללית

קובץ:גאומטריה למשוואת ריינולדס.jpeg

גאומטריה כללית עבור משוואת ריינולדס

עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא: <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)+\rho\left(w_a-w_b\right)-\rho U_b\frac{\partial h}{\partial x} +h\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר:

• <math>x,y,z</math> - הן קואורדינטות קרטזיות.
• <math>p</math> - לחץ כפונקציה של <math>x</math>.
• <math>h</math> - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של <math>x</math>.
• <math>\rho</math> - צפיפות הנוזל.
• <math>\mu</math> - צמיגות הנוזל.
• <math>U_a</math> - מהירות בכיוון <math>x</math> של המשטח התחתון.
• <math>U_b</math> - מהירות בכיוון <math>x</math> של המשטח העליון.
• <math>w_a</math> - מהירות בכיוון ציר <math>y</math> של המשטח התחתון.
• <math>w_b</math> - מהירות בכיוון ציר <math>y</math> של המשטח העליון.

הנחות המודל

1. הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
2. אינרציה וכוחות גוף זניחים.
3. שינויים בלחץ לאורך ציר <math>z</math> זניחים כלומר <math>p=p(x,y)</math>
4. הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
5. אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.

משמעות איברי המשוואה

• <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial y}\right)</math> - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
• <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)</math> -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
• <math>\rho U_b\frac{\partial h}{\partial x} </math> - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
• <math>\rho\left(w_a-w_b\right)</math> - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
• <math>h\frac{\partial \rho}{\partial t}</math> - התפשטות מקומית של הנוזל.

הרחבת איבר הזרימה עקב גזירה

<math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)= h\left( U_a + U_b \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho}{2}\right)+\rho h\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)+\left( U_a + U_b \right)\rho\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ h }{2}\right) </math>

• עבור משטחים קשיחים האיבר <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{ \left( U_a + U_b \right)}{2}\right)=0</math>
• שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות <math>\frac{\partial h}{\partial x}<0</math>
• האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר <math>x

</math> זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה.<math>\frac{\partial h}{\partial x}>>\frac{\partial \rho}{\partial x}</math> פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.

דוגמה לפתרון אנליטי

קובץ:Simple geometry.PNG

גאומטריה פשוטה עבור משוואת ריינולדס.

בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר <math>x</math> במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.

הנחות לפתרון הבעיה

1. מצב מתמיד. <math>\frac{\partial }{\partial t}=0</math>
2. זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה <math>\rho=const, \mu=const</math>.
3. מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. <math>h<<L</math>
4. בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.

עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:

<math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\rho h^3}{12\mu}\frac{\partial p}{\partial x}\right)=\frac{ 1 }{2}\rho U \frac{\partial h}{\partial x}</math>

פרופיל המשטח העליון הוא:

<math>h(x)=\frac{h_2 - h_1}{L}x+h_1</math>

בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית. הפתרון הוא:

<math>P(x)=-\frac{6\mu U}{h(x)^2}x-\frac{k_1}{2*h(x)^2*\frac{h_2-h_1}{L}}+k_2</math>

כאשר <math>k_1 , k_2</math> הם קבועי האינטגרציה.

קישורים חיצוניים

• הרצאותיו של פרופסור משנה אמיר גת, טכניון.
• Michael Khonsari, E. Richard Booser. Applied tribology, bearing design and lubrication. 2nd ed.