מרחב CAT(0)
פעולות נוספות
במתמטיקה, מרחב CAT(0) הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0). למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.
ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.
הגדרה עריכה
משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.
כל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math>, עם k שלילי, הוא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>; וכל מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא מרחב <math>\ \mbox{CAT}(k)</math> לכל k חיובי.
מרחבי אדמר עריכה
מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> שלם נקרא מרחב אדמר. התכונה הבולטת של מרחבי אדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם <math>\ \gamma_1,\gamma_2 : [a,b] \rightarrow X</math> הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה <math>\ f(t) = d(\gamma_1(t),\gamma_2(t))</math> קמורה כפונקציה של t. (ראו גם משפט קרטן-אדמר).
תכונות עריכה
לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k.
מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות.
מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^2</math> (עם המטריקה הרגילה).
חבורות CAT(0) עריכה
חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>". חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה פתירה של חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> היא דמוית-<math>\ \mathbb{Z}^n</math>.
מכפלה ישרה של חבורות <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> היא חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>. מכפלה חופשית של שתי חבורות <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-<math>\ \mathbb{Z}</math>, היא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>. הרחבת HNN של חבורת <math>\ \mbox{CAT}(0)</math> ביחס לחבורה סופית, היא <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>.
חבורות קוקסטר הן <math>\ \mbox{CAT}(0)</math>.