מקבילית

קובץ:Parallelogram simple.svg

איור של מקבילית

בגאומטריה, מקבילית היא מרובע בעל שני זוגות של צלעות מקבילות.

מקרים פרטיים של מקבילית הם מעוין, שכל צלעותיו באורך שווה, המלבן, שבו כל זוג צלעות סמוכות מאונכות זו לזו, והריבוע שהוא מעוין וגם מלבן.

ניתן לראות במקבילית מקרה פרטי של הטרפז (בהגדרתו המרחיבה).

הצורה התלת-ממדית הבנויה רק ממקביליות היא המקבילון.

המילה "מקבילית" מגיעה מהמילה היוונית παραλληλό-γραμμον (parallēló-grammon), שפירושה "צורה של קווים מקבילים".

תכונות המקבילית

• קובץ:Parallelogram.svg

  הקווים המסומנים בצורה זהה הם שווים.

  כל זוג זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

• כל זוג צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
• האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה ומחלקים את המקבילית ל-2 זוגות משולשים חופפים, מעבר לכך, כל המשולשים שווים בשטחם.
• כל שתי זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180 מעלות.
• שטח המקבילית שווה למכפלת אחת הצלעות בגובה אליה.
• סכום ריבועי האורכים של אלכסוני המקבילית שווה לסכום ריבועי האורכים של ארבע צלעותיו.

<math> BD ^2+ AC ^2 = AB ^2+ BC ^2+ CD ^2+ DA ^2 </math>

או: <math> BD ^2+ AC ^2 = 2 AB ^2+2 BC ^2 </math>

• כלל המקבילית מבדיל מרחבי הילברט ממרחבי בנך.

ניתן ליצור ריצוף של המישור עם כל מקבילית שהיא.

משפטים הפוכים

• כל מרובע בעל שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.
• כל מרובע בעל שני זוגות זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
• כל מרובע בעל זוג צלעות מקבילות שוות הוא מקבילית. (עם זאת, מרובע בעל זוג צלעות נגדיות שוות וזוג הצלעות השני מקבילות, אינו בהכרח מקבילית, כי הוא עשוי להיות גם טרפז שווה-שוקיים)
• כל מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

הוכחה שהאלכסונים במקבילית חוצים זה את זה

Parallelogram ABCD

כדי להוכיח שהאלכסונים של מקבילית חוצים זה את זה, נשתמש במשולשים חופפים:

<math>\angle ABE \cong \angle CDE</math> (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB,CD שוות זו לזו)

<math>\angle BAE \cong \angle DCE</math> (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB,CD שוות זו לזו) .

כמו כן, הצלע AB שווה באורכה לצלע DC, מכיוון שצלעות מנוגדות של מקבילית שוות באורכן.

לכן, המשולשים ABE ו- CDE חופפים (משפט חפיפה זווית צלע זווית).

מהחפיפה נובע,

<math>AE = CE</math>

<math>BE = DE</math>

מכיוון שהאלכסונים AC ו- BD מחלקים זה את זה למקטעים באורך שווה, האלכסונים חוצים זה את זה. מ.ש.ל.

בנוסף, מכיוון שהאלכסונים AC ו- BD חוצים זה את זה בנקודה E, נקודה E היא נקודת האמצע של כל אלכסון.

מקביליות מיוחדות

• מלבן הוא מקבילית בעלת זווית ישרה. (או מקבילית בעלת אלכסונים שווים)
• מעוין הוא מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות. (או מקבילית בעלת אלכסונים מאונכים)
• ריבוע הוא מקבילית שהיא גם מעוין וגם מלבן. (או מקבילית בעלת אלכסונים מאונכים ושווים)

נוסחאות שטח

קובץ:ParallelogramArea.svg

ניתן לפרק מקבילית ולסדר אותה מחדש כמלבן בעל שטח זהה.

קובץ:Parallelogram area animated.gif

אנימציה של נוסחת השטח: <math>K = bh</math>

כל נוסחאות השטח למרובעים קמורים כלליים חלות גם על מקבילית. עם זאת, קיימות נוסחאות נוספות ייחודיות למקבילית:

מקבילית בעלת בסיס <math>b</math> וגובה <math>h</math> ניתנת לחלוקה לטרפז ולמשולש ישר-זווית, וניתן לסדרה מחדש כמלבן, כפי שמוצג באיור. לכן, שטח המקבילית שווה לשטח מלבן בעל אותו בסיס וגובה:

<math>K = b h</math>

קובץ:Parallelogram area.svg

שטח המקבילית הוא השטח הכחול שבתוך המקבילית

ניתן לגזור את נוסחת הבסיס כפול גובה גם באמצעות האיור מימין. שטח המקבילית (השטח הכחול) הוא סך שטח המלבן פחות שטח שני המשולשים הכתומים. שטח המלבן הוא:

<math>K_{\mathrm{rect}} = (B + A) \cdot H</math>

ושטחו של כל משולש הוא:

<math>K_{\triangle} = \frac{A}{2} \cdot H</math>

לכן, שטח המקבילית הוא: <math> \begin{matrix} K &= K_{\mathrm{rect}} - 2 \cdot K_{\triangle} \\ &= ((B + A) \cdot H) - (A \cdot H) \\ &= B \cdot H \end{matrix} </math>

נוסחת שטח נוספת, עבור שתי צלעות <math>B</math> ו-<math>C</math> והזווית <math>\theta</math> ביניהן, היא:

<math>K = B \cdot C \cdot \sin \theta</math>

אם המקבילית היא מעוין, ניתן לבטא את השטח באמצעות הצלעות <math>B</math>, <math>C</math> והזווית <math>\gamma</math> בין האלכסונים:

<math>K = \frac{|\tan \gamma|}{2} \cdot \left| B^2 - C^2 \right|</math>

כאשר ידועות אורכי שתי צלעות סמוכות <math>B</math>, <math>C</math> ואורך אלכסון <math>D_1</math>, ניתן לחשב את השטח באמצעות נוסחת הרון:

<math>K = 2\sqrt{S(S-B)(S-C)(S-D_1)} = \frac{1}{2}\sqrt{(B+C+D_1)(-B+C+D_1)(B-C+D_1)(B+C-D_1)}</math>

כאשר <math>S = \frac{B+C+D_1}{2}</math>. הגורם 2 נובע מכך שהאלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים.

חישוב מהקואורדינטות של הקודקודים

יהיו הווקטורים <math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2</math> ויהי <math>V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}</math> מטריצה המכילה את רכיבי הווקטורים. אזי שטח המקבילית הנוצרת על־ידי <math>\mathbf{a}</math> ו־<math>\mathbf{b}</math> הוא:

<math>| \det(V) | = |a_1 b_2 - a_2 b_1|</math>

באופן כללי יותר, עבור <math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n</math> ו־<math>V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{bmatrix}</math>, שטח המקבילית הוא:

<math>\sqrt{ \det( V V^\mathrm{T} ) }</math>

יהיו הנקודות <math>a, b, c \in \mathbb{R}^2</math>. אזי השטח החתום של המקבילית עם קודקודים ב־<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> שווה לדטרמיננטה של מטריצה שבנויה מהנקודות, כאשר העמודה האחרונה מורכבת מאחדות:

<math>

K = \left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{matrix} \right| </math>

ראו גם

• מקבילית הכוחות
• משפט וריניון
• גאומטריה סינתטית

קישורים חיצוניים

• מקבילית, באתר לרגו
• מקבילית, באתר MathWorld (באנגלית)