מספרי אוילר
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):
- <math display=block>\text{sech}(t)=\frac{1}{\cosh(t)}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum_{n\,=\,0}^\infty\frac{E_n}{n!}\cdot t^n</math>
ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: <math>E_0=1,\quad E_n=-\sum_{k\,=\,0}^{n\,-\,1}\binom{n}{k}E_k</math>,
ובקירוב: <math>E_{2n}\approx(-1)^n8\sqrt{\frac{n}{\pi}}\left(\frac{4n}{\pi e}\right)^{2n}</math>
- סקאנט: <math>\sec(x)=\sum_{n\,=\,0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad:|x|<\frac{\pi}{2}</math>
- <math>\int\limits_0^\infty\frac{\ln(x)^n}{1+x^2}dx=|E_n|\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}</math>
מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס. עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:
- <math>\begin{align}&E_0=1\\&E_2=-1\\&E_4=5\\&E_6=-61\\&E_8=1385\\&E_{10}=-50521\\&E_{12}=2,702,765\\&E_{14}=-199,360,981\\&E_{16}=19,391,512,145\\&E_{18}=-2,404,879,675,441\end{align}</math>