למת רימן-לבג

במתמטיקה, לֶמת רימן־לבג, על שם המתמטיקאים ברנהרד רימן ואנרי לבג, קובעת כי התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציה ממרחב L¹ מתאפסת באינסוף. ללֶמה חשיבות רבה באנליזה הרמונית.

הלֶמה

בהינתן <math>f: \R \to \Complex</math> פונקציה מדידה, שהיא L¹ (כלומר: אינטגרל לבג של <math>|f|</math> הוא סופי), אזי: <math display="block">\lim_{z\to\pm\infty}\left[\int^\infty_{-\infty} f(x) e^{-izx}\,\mathrm{d}x \right] = 0</math>

כלומר, התמרת פורייה של <math>f</math> שואפת ל-<math>0</math> כאשר <math>z</math> שואף לאינסוף.

לֶמה מקבילה

תהא <math>f : \R \to\Complex</math> פונקציה רציפה למקוטעין בקטע [L,L-], ויהיו A_n ו-B_n מקדמי טור פורייה שלה. אזי:

<math display="block">\lim_{n\to\pm\infty} A_n = \lim_{n\to\pm\infty} B_n = 0</math>ניתן להכליל את הלֶמה של רימן-לבג לפונקציות אינטגרבליות ולאו דווקא רציפות.

הוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

הוכחה עבור פונקציות רציפות ומחזוריות <math>2\pi</math> לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים פולינום טריגונומטרי<math>p(x)</math> כך ש- <math>\forall x , |p(x)-f(x)|<\varepsilon</math> נובע מיידית ממשפט פייר כיוון שממוצע סאזרו הוא פולינום טריגונומטרי לכל <math>f</math> (מקדמי פורייה של פולינום טריגונומטרי מקיימים: <math>\lim_{|n| \to \infty} \widehat{f}(n)= 0 </math>).

קישורים חיצוניים

• למת רימן-לבג, באתר MathWorld (באנגלית)