כלל סארוס
פעולות נוספות
באלגברה ליניארית, כלל סַארוּס (באנגלית: Rule of Sarrus) הוא שיטה פשוטה ושימושית לזכור ולחשב את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר <math>3\times 3</math>. הכלל קרוי על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פרדריק סארוס (אנ'), אשר הציג אותו בשנת 1833.
הכלל מספק דרך חזותית לחשב את סכום המכפלות המגדירות את הדטרמיננטה, אך הוא תקף אך ורק למטריצות מסדר <math>3\times 3</math> ואינו ניתן להכללה פשוטה לממדים גבוהים יותר (כגון <math>4\times 4</math>).
תיאור הכלל עריכה
עבור מטריצה <math>A</math> מסדר <math>3\times 3</math>:
- <math>A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}</math>
כדי לחשב את הדטרמיננטה לפי כלל סארוס, ניתן לפעול לפי השלבים הבאים:
- מעתיקים את שתי העמודות הראשונות של המטריצה ורושמים אותן מימין למטריצה המקורית. כעת מתקבל מערך של 5 עמודות. דרך נוספת לזכור זאת היא לדמיין שהמטריצה עוטפת גליל, כך שהקצוות הימניים והשמאליים שלה מחוברים.
- מסכמים את מכפלות האיברים על שלושת האלכסונים הראשיים ("יורדים" משמאל לימין).
- מחסרים את מכפלות האיברים על שלושת האלכסונים המשניים ("עולים" משמאל לימין).
באופן פורמלי:
- <math>
\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12}) </math>
סידור זה מבטיח כי כל אחד מששת האיברים בביטוי של הדטרמיננטה (על פי נוסחת לייבניץ) יופיע בדיוק פעם אחת ובסימן הנכון.
דוגמה מספרית עריכה
תהי המטריצה <math>A</math>:
- <math>A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}</math>
לפי כלל סארוס, נבצע את החישוב הבא:
- אלכסונים "חיוביים" (משמאל למעלה לימין למטה):
- <math>1 \cdot 5 \cdot 9 = 45</math>
- <math>2 \cdot 6 \cdot 7 = 84</math>
- <math>3 \cdot 4 \cdot 8 = 96</math>
- סכום: <math>45 + 84 + 96 = 225</math>
- אלכסונים "שליליים" (משמאל למטה לימין למעלה):
- <math>7 \cdot 5 \cdot 3 = 105</math>
- <math>8 \cdot 6 \cdot 1 = 48</math>
- <math>9 \cdot 4 \cdot 2 = 72</math>
- סכום: <math>105 + 48 + 72 = 225</math>
הדטרמיננטה היא ההפרש בין הסכומים:
- <math>\det(A) = 225 - 225 = 0</math>
תוצאה זו צפויה, שכן השורות במטריצה זו תלויות ליניארית (השורה השנייה היא ממוצע של הראשונה והשלישית), ולכן המטריצה אינה הפיכה.
הוכחה עריכה
ההוכחה לכך שכלל סארוס מניב את ערך הדטרמיננטה נובעת ישירות מההגדרה הכללית של הדטרמיננטה (נוסחת לייבניץ):
- <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}</math>
כאשר <math>n=3</math>, חבורת התמורות <math>S_3</math> כוללת <math>3! = 6</math> תמורות. נמיין אותן לפי הזוגיות שלהן:
- תמורות זוגיות (סימן <math>+</math>)
- הזהות <math>(1,2,3)</math> נותנת את האיבר <math>a_{11}a_{22}a_{33}</math> (האלכסון הראשי).
- המחזור <math>(2,3,1)</math> נותן את האיבר <math>a_{12}a_{23}a_{31}</math>.
- המחזור <math>(3,1,2)</math> נותן את האיבר <math>a_{13}a_{21}a_{32}</math>.
אלו בדיוק שלושת האלכסונים ה"יורדים" בשיטת סארוס.
- תמורות אי-זוגיות (סימן <math>-</math>)
- החילוף <math>(3,2,1)</math> נותן את האיבר <math>a_{13}a_{22}a_{31}</math> (האלכסון המשני).
- החילוף <math>(1,3,2)</math> נותן את האיבר <math>a_{11}a_{23}a_{32}</math>.
- החילוף <math>(2,1,3)</math> נותן את האיבר <math>a_{12}a_{21}a_{33}</math>.
אלו בדיוק שלושת האלכסונים ה"עולים" בשיטת סארוס.
מכאן שסכימת האלכסונים בשיטה זו מכסה בדיוק את כל איברי הדטרמיננטה עם הסימנים המתאימים.
הכללות ומגבלות עריכה
תבנית דומה, המבוססת על אלכסונים, מתקיימת עבור מטריצות מסדר <math>2\times 2</math>:
<math>\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix} =ad - bc </math>
טעות נפוצה היא לנסות להחיל שיטה דומה עבור מטריצות מסדר <math>4\times 4</math> ומעלה (על ידי שכפול 3 עמודות). אולם, הכלל אינו תקף לממדים אלו.
הסיבה לכך היא שבעוד שבחבורה <math>S_3</math> כל תמורה זוגית היא חזקה של המחזור <math>(1,2,3)</math>, הדבר אינו נכון לממדים גדולים יותר.
באופן כללי, מספר המחוברים נוסחת לייבניץ לחישוב דטרמיננטה של מטריצה <math>n\times n</math> הוא <math>n!</math> (עצרת).
- עבור <math>n=3</math>, ישנם <math>3! = 6</math> מחוברים, וכלל סארוס מספק בדיוק 6 אלכסונים (3 חיוביים ו-3 שליליים).
- עבור <math>n=4</math>, ישנם <math>4! = 24</math> מחוברים. שיטת אלכסונים נאיבית תניב רק 8 מחוברים (4 יורדים ו-4 עולים), ולכן היא שגויה מיסודה.
עבור מטריצות מממדים גבוהים, יש להשתמש בשיטות כלליות כגון דירוג גאוס, פיתוח לפי מינורים, או נוסחת לייבניץ.
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה
- כלל סארוס, באתר MathWorld (באנגלית)
- סרטון הסבר על כלל סארוס באתר Khan Academy
