טרינום

באלגברה אלמנטרית, טרִינוֹם (בעברית: תלת־איבר) הוא פולינום המורכב משלושה איברים או מונומים.

ביטויים טרינומיים

1. <math>3x+5y+8z</math> עם המשתנים <math>x,y,z</math>
2. <math>3t+9s^2+3y^3</math> עם המשתנים <math>t,s,y</math>
3. <math>3ts+9t+5s</math> עם המשתנים <math>t,s</math>
4. <math>Ax^ay^bz^c+Bt+Cs</math> עם המשתנים <math>x,y,z,t,s</math>, הקבועים <math>a,b,c</math> מספרים שלמים אי־שליליים ו־<math>A,B,C</math> קבועים ממשיים.
5. <math>Px^a+Qx^b+Rx^c</math> עם המשתנה <math>x</math>, הקבועים <math>a,b,c</math> מספרים שלמים אי־שליליים ו־<math>P,Q,R</math> קבועים ממשיים.

משוואה טרינומית

משוואה טרינומית היא משוואה פולינומית הכוללת שלושה איברים. דוגמה לכך היא המשוואה <math>x=q+x^m</math> שנחקרה על ידי יוהאן היינריך למברט במאה ה-18.

מקרה פרטי: טרינום ריבועי

בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: <math>ax^2+bx+c</math>.

במקרים אלה נחפש שני מספרים <math>a_1,a_2</math> המקיימים את השוויונות <math>a_1+a_2=b,\ a_1a_2=ac</math>, שכן אז ניתן לפרק כך:

<math>ax^2+bx+c=ax^2+a_1x+a_2x+c=ax\left(x+\frac{a_1}{a}\right)+a_2\left(x+\frac{c}{a_2}\right)=(ax+a_2)\left(x+\frac{a_1}{a}\right)</math>

(השוויון <math>a_1a_2=ac</math> גורר את השוויון <math>\frac{a_1}{a}=\frac{c}{a_2}</math> ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף <math>x+\frac{a_1}{a}=x+\frac{c}{a_2}</math>).

לדוגמה, הפולינום <math>x^2+3x+2</math> הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם <math>x_1=-1,\ x_2=-2</math>.
נחפש שני מספרים <math>a_1,a_2</math> שמקיימים את השוויונות <math>a_1+a_2=3,\ a_1a_2=2</math>. המספרים <math>a_1=1,a_2=2</math> מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

<math>x^2+3x+2=x^2+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+2)(x+1)</math>

ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם <math>x_1=-2,\ x_2=-1</math>.

דוגמה נוספת, הפולינום <math>3x^2-2x-5</math> הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ־1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם <math>x_1=-1,\ x_2=\frac53</math>. נחפש שני מספרים <math>a_1,a_2</math> שמקיימים את השוויונות <math>a_1+a_2=-2,\ a_1a_2=-15</math>, המספרים <math>a_1=-5,\ a_2=3</math> מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך:

<math>3x^2-2x-5=3x^2+3x-5x-5=3x(x+1)-5(x+1)=(x+1)(3x-5)</math>

ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם <math>x_1=-1,\ x_2=\frac53</math>.

אותה תוצאה יכולה להינתן על ידי חוק רופיני, אך עם תהליך מורכב וארוך יותר.

קישורים חיצוניים

• טרינום, באתר MathWorld (באנגלית)