חופשי מריבועים

בתורת החוגים, איבר <math>r</math> בתחום פריקות יחידה נקרא חופשי מריבועים או חסר ריבועים אם לא קיים ריבוע לא טריוויאלי המחלק את <math>r</math>. באופן פורמלי, <math>r</math> חופשי מריבועים אם כל <math>s</math> המקיים <math>s^2\mid r</math> הוא בהכרח איבר הפיך (ואז הריבוע מחלק כל איבר בחוג).

שלם חופשי מריבועים

בחוג השלמים, מספר חופשי מריבועים הוא מספר שבפירוק שלו לגורמים ראשוניים כל מספר ראשוני מופיע פעם אחת לכל היותר. לדוגמה, המספר 266 הוא חופשי מריבועים משום ש-<math>266 = 2 \cdot 7 \cdot 19</math> ואילו 20 אינו חופשי מריבועים משום ש-4 <math>(2^2)</math> מחלק אותו. שלם חופשי מריבועים שווה לרדיקל שלו. לכל מספר שלם יש הצגה יחידה כמכפלה של שלם חופשי מריבועים ומספר ריבועי (כש-1 נחשב גם חופשי מריבועים וגם ריבוע).

הוכחה

יהי <math>n=\prod^m_{i=1}p_i^{n_i}</math> כאשר <math>p_1,...,p_m</math> שונים, ו<math>n_i</math> מייצג את מספר הפעמים ש<math>p_i</math> מופיע בהצגה של <math>n</math>. נקבל: <math>n=\left(\prod^m_{i=1}p_i^{\left\lfloor\frac{n_i}{2}\right\rfloor}\right)^2\cdot\left(\prod^m_{i=1}p_i^{n_i\!\!\!\mod \!2}\right)</math>, מכפלה של מספר ריבועי ומספר חסר ריבועים.