חוג האפס
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
בתורת החוגים, ענף של המתמטיקה, חוג אפס[1][2][3][4][5] או החוג הטריוויאלי הוא החוג היחיד (עד איזומורפיזם) המורכב מאיבר אחד. (המונח "חוג אפס" מתייחס גם לכל חוג בלי יחידה שריבועו אפס, כלומר, חוג ללא יחידה שבו xy = 0 לכל x ו-y. עמוד זה מתייחס לחוג האיבר היחיד.)
בקטגוריית החוגים בלי יחידה, חוג האפס היא האובייקט הסופי ואילו חוג המספרים השלמים Z היא האובייקט ההתחלתי.
הגדרה עריכה
חוג האפס, שמסומן {0} או פשוט 0, מורכב מהיחידון {0} עם הפעולות + ו · המוגדרות כך ש-0 + 0 = 0 ו-0 · 0 = 0.
תכונות עריכה
- חוג האפס הוא החוג היחיד בו היחידה החיבורית 0 והיחידה הכפלית 1 שוות.[1][6] (הוכחה: אם 1 = 0 בחוג R, אז לכל r ב-R, יש לנו <math>r = r \cdot 1 = r \cdot 0 = 0</math>.)
- האיבר 0 בחוג האפס הוא הזהות המשמש כמספר הופכי של עצמו.
- קבוצת האיברים ההפיכים של חוג האפס היא הקבוצה הטריוויאלית {0}.
- האיבר 0 בחוג האפס אינו מחלק אפס.
- האידיאל היחיד בחוג האפס הוא אידיאל האפס {0}, שהוא גם האידיאל היחיד, השווה לכל החוג. אידיאל זה אינו מקסימלי ואינו ראשוני.
- חוג האפס אינו שדה ; זה תואם את העובדה שאידיאל האפס שלו אינו מקסימלי. למעשה, אין שדה עם פחות מ-2 איברים.
- חוג האפס אינו תחום שלמות.[7] אם חוג האפס נחשב בכלל לתחום הוא עניין של מוסכמה, אך ישנם שני יתרונות לא לשקול אותו כתחום. ראשית, זה תואם את ההגדרה שתחום הוא חוג שבו 0 הוא מחלק האפס היחיד (בפרט, 0 נדרש להיות מחלק אפס, שנכשל בחוג האפס). שנית, בדרך זו, עבור מספר שלם חיובי n, החוג Z / n Z (או Z n, שהיא איזומורפית ל-Z / n Z) היא תחום אם ורק אם n הוא ראשוני, אך 1 אינו ראשוני.
- לכל חוג A קיים הומומורפיזם יחיד (של חוגים) מ-A לחוג האפס. לפיכך חוג האפס היא אובייקט סופי בקטגוריית החוגים.[8]
- אם A הוא חוג שאינו אפסי, אז אין הומומורפיזם (של חוגים) מחוג האפס ל-A. בפרט, חוג האפס אינו תת-חוג של אף חוג שאינו אפסי.[8]
- חוג האפס הוא החוג היחיד בעל מאפיין 1.
- המודול היחיד לחוג האפס הוא מודול האפס.
- חוג האפס אינה חוג מקומי. זוהי, עם זאת, חוג מקומי למחצה.
- חוג האפס היא ארטיני (ולכן) נתרי.
- הספקטרום של חוג האפס הוא הסכמה הריקה.[8]
- הממד קרול של חוג האפס הוא – ∞.
- חוג האפס היא פשוטה למחצה אך לא פשוטה.
- חוג האפס אינו אלגברה פשוטה מרכזית מעל שום שדה.
בניות עריכה
- עבור כל חוג A ואידיאל I של A, המנה A / I היא חוג אפס אם ורק אם I = A, כלומר אם ורק אם I האידיאל יחידה.
- עבור כל חוג חילופי A וקבוצת כפל S ב-A, הלוקליזציה S -1 A היא חוג האפס אם ורק אם S מכיל 0.
- אם A היא חוג כלשהי, הרי החוג <math>M_0(A)</math> של 0 × 0 מטריצות מעל A היא חוג האפס.
- המכפלה הישירה של אוסף חוגים ריק היא חוג האפס.
- חוג האנדומורפיזמים של הקבוצה הטריוויאלית היא חוג האפס.
- חוג הפונקציות האמיתיות הרציפות על מרחב טופולוגי ריק היא חוג האפס.
לקריאה נוספת עריכה
- מייקל ארטין, אלגברה, פרנטיס-הול, 1991.
- זיגפריד בוש, גאומטריה אלגברית ואלגברה קומוטטיבית, ספרינגר, 2012.
- מייקל עטיה ו-IG Macdonald, מבוא לאלגברה קומוטטיבית, אדיסון-ווסלי, 1969.
- ניקולא בורבאקי, אלגברה I, פרקים 1–3.
- רובין הרטשורן, גאומטריה אלגברית, ספרינגר, 1977.
- TY Lam, תרגילים בתורת הטבעות הקלאסית, ספרינגר, 2003.
- סרג' לאנג, אלגברה מהדורה שלישית, ספרינגר, 2002.