הרחבת סקלרים

הרחבת סקלרים היא בנייה בסיסית באלגברה, המתאימה למבנה מעל שדה F מבנה בעל אותן תכונות מעל שדה גדול יותר. בפרט, הרחבת הסקלרים מאפשרת להעביר מבנים מעל שדה F למבנים מעל הסגור האלגברי <math>\overline{F}</math>, שהם בעלי אופי יותר גאומטרי. נסיגת גלואה (ראה להלן) מאפשרת לעשות את הדרך בכיוון ההפוך.

הגדרה

פורמלית, לכל אלגברה A מעל F (לרבות אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברה עם אינוולוציה, וכדומה), הרחבת הסקלרים (מ-F ל-K) של A היא האלגברה <math>A_K = K \otimes_F A</math>. באופן אינטואיטיבי, מדובר באותו מבנה, אלא שבמקום הסקלרים מ-F מותר כעת להשתמש בכל הסקלרים מ-K.

אכן, הרחבת הסקלרים שומרת על תכונות בסיסיות של A:

1. הממד נשמר: <math>\operatorname{dim}_K(K \otimes A) = \operatorname{dim}_F(A)</math>;
2. אם F אינסופי האלגברות A ו-<math>K \otimes A</math> מקיימות את אותן זהויות פולינומיות (לרבות זהויות לא אסוציאטיביות);
3. ואם A מוגדרת כאלגברה מעל F על ידי יוצרים ויחסים, אז <math>A_K</math> מוגדר כאלגברה מעל K על ידי אותם יוצרים ויחסים.

צורות

אומרים ש־F-אלגברות A,B הן בעלות אותה צורה אם <math>A_\overline{F} \cong B_\overline{F}</math>; ו-A נקראת צורה (form) של הרחבת הסקלרים <math>A_{\overline{F}}</math>. שכיח מאוד שלאלגברות יש אותה צורה אף כאשר הן אינן איזומורפיות, ואם כך הצורה היא תיאור מבני פשוט יותר ונגיש יותר מאשר מחלקת האיזומורפיזם של האובייקט המקורי. אם A ו-B הן אלגברות מממד סופי בעלות אותה צורה, אז קיימת הרחבה סופית K/F כך שכבר <math>A_K \cong B_K</math>.

לדוגמה:

1. אלגברה היא פשוטה מרכזית מדרגה n מעל F, אם ורק אם היא צורה של אלגברת המטריצות <math>\operatorname{M}_n(\overline{F})</math>, כלומר <math>\overline{F} \otimes A \cong \operatorname{M}_n(\overline{F})</math>.
2. כל אלגברת אוקטוניונים היא צורה של אלגברת האוקטוניונים המפוצלים (וקטורי צורן),
3. כל אלגברה פשוטה מרכזית עם אינוולוציה היא צורה של אחת משתיים: אלגברת המטריצות עם אינוולוציית השחלוף, או (כאשר n זוגי) אלגברת המטריצות עם האינוולוציה הסימפלקטית.

נסיגת גלואה

נסיגת גלואה (Galois descent) היא הדרך שבה אפשר לחזור מן הצורה מעל הסגור האלגברי אל האלגברות בעלות צורה זו מעל F.

תהי K/F הרחבת גלואה. אם V מרחב וקטורי מעל F, אז <math>\Gamma = \operatorname{Gal}(K/F)</math> פועלת על <math>V_K = K \otimes V</math> על ידי הפעולה על הרכיב הראשון; זו פעולה שאינה K-ליניארית. אם <math>f : U \rightarrow V</math> העתקה ליניארית, אז <math>\sigma(f)=(\sigma \otimes 1)\circ f \circ (\sigma \otimes 1)^{-1}</math>, וזו העתקה ליניארית מעל K. התוצאה היא שלכל אלגברה A, פעולת <math>\Gamma</math> על <math>A_K</math> מגדירה פעולה של אותה חבורה גם על <math>\operatorname{Aut}_K(A_K)</math>, וכך אפשר להגדיר סכימת חבורות (כלומר חבורה אלגברית אפינית) <math>G(K) = \operatorname{Aut}_K(A_K)</math>.

למשל, המרחב הווקטורי <math>A = F^n</math> מגדיר באופן הזה את חבורת המטריצות ההפיכות <math>\operatorname{GL}_n</math>, ואלגברת המטריצות <math>A = \operatorname{M}_n(F)</math> מגדירה את חבורת המטריצות הפרויקטיבית <math>\operatorname{PGL}_n</math>. האוקטוניונים מגדירים את החבורה הספורדית <math>{G}_2</math>, ואלגברת אלברט מגדירה את החבורה הספורדית <math>{F}_4</math>.

מיון הצורות

אם A,B נעשות איזומורפיות אחרי הרחבת הסקלרים ל-K, אז בחירת איזומורפיזם <math>\phi : A_K \rightarrow B_K</math> מגדירה <math>g_{\sigma} = [\phi^{-1},1 \otimes \sigma]</math> (לכל <math>\sigma \in \Gamma</math>) ודרך כך איבר <math>[g] \in H^1(\Gamma,G)</math>, שאינו תלוי ב-<math>\phi</math>.

המשפט על נסיגת גלואה קובע כי התאמה זו היא חד-חד-ערכית: ה-K-צורות של A נמצאות בהתאמה לאברי קבוצת הקוהומולוגיה הראשונה <math>H^1(\Gamma,G)</math> (שבדרך כלל אינה חבורה משום ש-G אינה אבלית). לדוגמה, האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל F המתפצלות על-ידי K, נמצאות בהתאמה ל-<math>H^1(\operatorname{Gal}(K/F),\operatorname{PGL}_n)</math>. את ההתאמות האלה אפשר לקחת לגבול (על פני כל הרחבות גלואה K/F), ואז מתקבלת התאמה של כלל הצורות של A לקוהומולוגיה <math>H^1(\operatorname{Gal}(\overline{F}/F),G)</math>.

מקורות

• Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuelli.