הלמה של טייכמילר-טוקי
פעולות נוספות
במתמטיקה, הלמה של טייכמילר־טוקי (לפעמים נקראת רק הלמה של טוקי), על שם ג'ון טוקי ואוסוולד טייכמילר, היא למה הקובעת שלכל אוסף לא ריק ומאופיין־סופית יש איבר מקסימלי ביחס להכלה. תחת מערכת האקסיומות של צרמלו־פרנקל לתורת הקבוצות, הלמה של טייכמילר-טוקי שקולה לאקסיומה של בחירה, ולכן גם שקולה למשפט הסדר הטוב, ללמה של צורן ולעקרון המקסימום של האוסדורף.[1]
משפחה מאופיינת־סופית של קבוצות עריכה
משפחה של קבוצות <math>\mathcal{F}</math> תקרא מאופיינת־סופית אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
- לכל קבוצה <math>A\in \mathcal{F}</math>, כל תת-קבוצה סופית של <math>A</math> שייכת ל <math>\mathcal{F}</math> .
- אם עבור קבוצה <math>A</math>, לכל תת־קבוצה סופית <math>A' \subseteq A</math> מתקיים <math>A' \in \mathcal{F}
</math>, אז <math>A \in \mathcal{F} </math>.
נוסח הלמה עריכה
תהי <math>Z</math> קבוצה ותהי <math>\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(Z)</math> משפחה של תת־קבוצות של <math>Z</math>. אם <math>\mathcal{F}</math> מאופיינת־סופית אזי עבור קבוצה <math>X\in\mathcal{F}</math>, קיימת קבוצה <math>Y\in\mathcal{F}</math> מקסימלית ביחס להכלה כך ש <math>X\subseteq Y</math>. [2]
שימושים עריכה
באלגברה ליניארית, ניתן להשתמש בלמה כדי להוכיח את קיומו של בסיס לכל מרחב וקטורי. יהי <math>V</math> מרחב וקטורי. נתבונן באוסף <math>\mathcal{F}</math> של קבוצות וקטורים בלתי תלויות ליניארית. מכך ש־<math>\mathcal{F}</math> משפחה מאופיינת סופית של תת־קבוצות של <math>V</math>, קיימת קבוצה מקסימלית להכלה <math>B \in \mathcal{F}</math>, אשר חייבת לפרוש את <math>V</math>, ועל כן <math>B</math> בסיס ל־<math>V</math>.
קישורים חיצוניים עריכה
- Brillinger, David R. "John Wilder Tukey"