חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות <math>E/F</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה <math>E</math>, המעבירים כל איבר של השדה <math>F</math> לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה <math>E/F</math>, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין התת-חבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה

יהי <math>F</math> שדה, ותהי <math>E/F</math> הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה <math>E/F</math>, המסומנת <math>\text{G}(E/F)</math> או <math>\text{Aut}(E/F)</math> או <math>\text{Gal}(E/F)</math>, מוגדרת להיות

<math>\text{G}(E/F)=\Big\{\sigma\in\text{Aut}(E):\sigma(x)=x,\,\forall x\in F\Big\}</math>

כאשר <math>\text{Aut}(E)</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה <math>E</math>.

קל לבדוק שזאת אכן חבורה.

דוגמאות

• חבורת הגלואה של ההרחבה <math>\C/\R</math> היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה.

זאת מאחר שאם <math>\sigma</math> בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים

<math>\sigma(i^2+1)=\sigma(i^2)+1=\sigma(i)^2+1=0</math>

לכן <math>\sigma(i)\in\{-i,i\}</math>. לכן לכל <math>a,b\in\R</math> מתקיים כי

<math>\sigma(a+bi)=\sigma(a)+\sigma(bi)=\sigma(a)+\sigma(b)\sigma(i)=a+b\,\sigma(i)</math>

במעבר האחרון השתמשנו בכך ש-<math>\sigma</math> מעתיקה את איברי <math>\R</math> לעצמם. לכן <math>\sigma(a+bi)=a+bi</math> או <math>\sigma(a+bi)=a-bi</math>.

• באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה <math>\Q(\sqrt2)/\Q</math> מכילה שני איברים: העתקת הזהות והעתקת ההצמדה: <math>\sigma(a+b\sqrt2)=a-b\sqrt2</math>.
• חבורת הגלואה של ההרחבה <math>\R/\Q</math> מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של <math>\R</math> מכילה רק את העתקת הזהות.

כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של <math>\R</math> מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש-<math>\sigma(a^2)=\sigma(a)^2</math> ולכן שומרת על יחס סדר.

• תהי <math>F/\Q</math> הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של <math>F/\Q</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של <math>F</math>, כלומר <math>\text{Aut}(F)</math>.

זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.

• יהי <math>p</math> מספר ראשוני, ותהי <math>K/\mathbb{F}_p</math> הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של <math>K/\mathbb{F}_p</math> היא חבורת האוטומורפיזמים של <math>K</math>, כלומר <math>\text{Aut}(K)</math>.
• חבורת הגלואה של ההרחבה <math>\Q(\sqrt[3]{2})/\Q</math> מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם <math>\sigma</math> בחבורה, מתקיים <math>\sigma(\sqrt[3]{2}^{\,3}-2)=\sigma(\sqrt[3]{2})^3-2=0</math>.

לכן בהכרח <math>\sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}</math>. מאחר ש-<math>\bigl\{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\bigr\}</math> בסיס, נובע כי <math>\sigma</math> היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת

יהי <math>E</math> שדה. תהי <math>G\le\text{Aut}(E)</math> תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של <math>E</math>. נגדיר את שדה השבת של <math>G</math> כקבוצה הבאה:

<math>E^G=\Big\{x\in E:\sigma(x)=x,\,\forall\sigma\in G\Big\}</math>

כלומר, שדה השבת של <math>G</math> הוא קבוצת כל האיברים מהשדה <math>E</math> שכל איברי <math>G</math> מותירים אותם במקומם.

קל לבדוק כי זה אכן שדה. מתקיים כי אם <math>E/F</math> הרחבת שדות ו-<math>G=\text{G}(E/F)</math> אזי <math>F\le E^G</math>.

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם <math>F=\Q</math> ו-<math>E=\Q(\sqrt[3]{2})</math>, אז ראינו קודם כי <math>G</math> מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי <math>F\ne E^G=E</math>

תכונות

• אם ההרחבה <math>E/F</math> מממד סופי, מתקיים כי <math>|\text{G}(E/F)|\le[E:F]</math>, כאשר אגף שמאל הוא גודל חבורת הגלואה ואגף ימין הוא ממד ההרחבה.
• השוויון <math>|\text{G}(E/F)|=[E:F]</math> מתקיים אם ורק אם <math>E/F</math> הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
• הלמה של ארטין: יהי <math>E</math> שדה, ותהי <math>G\le\text{Aut}(E)</math> תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של <math>E</math>.

אזי אם <math>E^G=F</math> מתקיים <math>|G|\le[E:F]</math>. מתקיים אף <math>G=\text{G}(E/F)</math>

קישורים חיצוניים

• חבורת גלואה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• חבורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)