החבורה הדיהדרלית האינסופית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
בתורת החבורות, החבורה הדיהדרלית האינסופית הנה חבורה אינסופית, המכלילה את החבורה הדיהדרלית.
מבוא והגדרה עריכה
חבורה דיהדרלית סופית <math>D_n</math> נוצרת על ידי סיבוב <math>r</math> של <math>\frac{360^{\circ}}{n}</math> ושיקוף <math>s</math>; כאשר סדר החבורה סופי, הסיבוב גם הוא בעל סדר סופי: <math>r^n=1</math>. בנוסף, בין השיקוף לסיבוב מתקיים היחס <math>srs = r^{-1}</math>.
בניגוד לכך, בחבורה הדיהדרלית האינסופית, הסדר של הסיבוב איננו סופי: זוהי החבורה הנוצרת על ידי שני איברים <math>r,s</math>, המקיימים <math>s^2=1</math> ו-<math>srs = r^{-1}</math>. זוהי חבורה אינסופית, המסומנת <math>\operatorname{D}_\infty</math> או <math>\operatorname{Dih}_\infty</math>.
תכונות עריכה
- כל חבורה דיהדרלית סופית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של חבורה ציקלית סופית ו-<math>\mathbb{Z}_2</math>; תכונה זו מוכללת לחבורה הדיהדרלית האינסופית: <math>\operatorname{D}_\infty \cong \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2</math>
- על ידי החלפת המשתנים <math>r</math> ב-<math>sr</math>, ניתן לקבל ייצוג נוסף של החבורה: <math>\langle x,y \mid x^2=y^2=1 \rangle</math> - מכפלה חופשית של שתי חבורות מסדר 2: <math>\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_2</math>.
- חבורת האיזומטריות של <math>\mathbb{Z}</math> איזומורפית לחבורה הדיהדרלית האינסופית.