הדיסקית של אוילר

קובץ:Euler's disk.png

סימולציית מחשב של דיסקית אוילר על פני בסיס מעט קעור

הדיסקית של אוילר, שהומצאה בין 1987 ל-1990 על ידי ג'וזף בנדיק, היא צעצוע מדעי חינוכי, המשמש להמחשת הדינמיקה של דיסק המסתובב ומתגלגל על משטח שטוח או קמור. הדיסקית עמדה במוקדם של מספר מחקרים מדעיים בשל מאפייניה הפיזיקליים הרבים. בנדיק קרא לצעצוע על שם המתמטיקאי לאונרד אוילר.

דיסק המסתובב על משטח נעצר בסופו של דבר, השלב הסופי של התנועה מלווה בצליל זמזום שתדירותו הולכת וגוברת, עד לעצירה. ככל שהדיסק מתגלגל, קודת המגע בין הדיסק למשטח מתארת מסלול מעגלי שמתנודד במהירות זוויתית <math>\omega</math> . בהיעדר חיכוך, <math>\omega</math> הוא קבוע, והתנועה נמשכת לנצח;עם זאת, בפועל, <math>\omega</math> אינו קבוע והדיסקית אינה מסתובבת לנצח. למעשה, קצב הנקיפה של ציר הסימטריה מתקרב לסינגולריות בזמן סופי שמתקבל על ידי חוק החזקה עם מעריך בקירוב − 1/3 (בהתאם לתנאים ספציפיים).

ישנם שני גורמים עיקריים הגורמים להאטת הדיסקית: חיכוך קינטי כאשר הדיסק מחליק לאורך פני השטח, וחיכוך אוויר הנובע מהתנגדות האוויר. ניסויים מצביעים על כך שהחיכוך הקינטי הוא הגורם המרכזי להתנהגות האופיינית של הדיסקית - ניסויים בוואקום מראים שהיעדר אוויר משפיע במידה מועטה בלבד על התנהגותה, בעוד שההתנהגות (קצב הנקיפה) תלויה באופן שיטתי במקדם החיכוך. רק כאשר הזווית נעשית קטנה מאוד (כלומר מיד לפני שהדיסק מפסיק להסתובב), חיכוך האוויר (ספציפית, פיזור צמיג) הוא האפקט הדומיננטי, אך לפני שלב סופי זה, החיכוך הקינטי הוא האפקט הדומיננטי.

תנועה יציבה עם מרכז הדיסק במנוחה

ניתן לתאר את התנהגותו של דיסק מסתובב שמרכזו במנוחה כדלקמן. הקו ממרכז הדיסק לנקודת המגע עם המישור מכונה ציר <math>\widehat{\mathbf{3}}</math> . מכיוון שמרכז הדיסק ונקודת המגע נמצאים רגעית במנוחה (בהנחה שאין תנועה) ציר <math>\widehat{\mathbf{3}}</math> הוא ציר הסיבוב הרגעי. המומנטום הזוויתי הוא <math>\mathbf{L} =kMa^2\omega\widehat{\mathbf{3}}</math> ביטוי המתאים לכל דיסק דק בעל סימטריה מעגלית עם מסה <math>M</math> שמסתובב; כאשר <math>a</math> הוא הרדיוס של הדיסק, ו <math>\omega</math> היא המהירות הזוויתית לאורך <math>\widehat{\mathbf{3}}</math> . k=1/2 עבור דיסק שכל מסתו על פני המשטח, k=1/4 עבור דיסק "אחיד" (כמו דיסק אוילר, למטבע קיים ציר העובר דרך מרכזה המקיים סימטריה סיבובית).

כוח המגע <math>\mathbf{F}</math> הוא <math>M g \widehat{\mathbf{z}}</math>, כאשר <math>g</math> הוא תאוצת הכבידה ו <math>\widehat{\mathbf{z}}</math> הוא הציר האנכי המכוון כלפי מעלה. המומנט סביב מרכז המסה הוא <math>\mathbf{N}=a \widehat{\mathbf{3}} \times Mg\widehat{\mathbf{z}}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}</math> כלומר <math>\frac{d\mathbf{L}}{dt}= \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{L}</math> כאשר <math>\boldsymbol{\Omega} = - \frac{g}{ak\omega} \widehat{\mathbf{z}}</math> . מכך ניתן להסיק כי הן המומנטום הזוויתי <math>\mathbf{L}</math>, ונקודת מגע הדיסק עם הרצפה סובבים סביב הציר האנכי <math>\widehat{\mathbf{z}}</math> בקצב של

1

({{{3}}})

בנוסף <math>\Omega</math> היא המהירות הזוויתית של נקודת המגע עם המישור. אם ציר <math>\widehat{\mathbf{1}}</math> מוגדר לאורך ציר הסימטריה של הדיסק ומצביע כלפי מטה, הרי ש <math>\widehat{\mathbf{z}} = - \cos \alpha \widehat{\mathbf{1}} - \sin \alpha \widehat{\mathbf{3}}</math>, כאשר <math>\alpha</math> היא זווית הנטייה של הדיסק ביחס למישור האופקי. ניתן לפרק את המהירות הזוויתית כמורכבת משני חלקים <math>\omega\widehat{\mathbf{3}} = \Omega \widehat{\mathbf{z}} + \omega_\text{rel} \widehat{\mathbf{1}} </math>, כאשר <math>\omega_\text{rel}</math> היא המהירות הזוויתית של הדיסקית לאורך ציר הסימטריה שלה. מן הגאומטריה ניתן להסיק בקלות כי:

<math display="block">\begin{align}

\omega &= -\Omega \sin \alpha, \\
\omega_\text{rel} &= \Omega \cos \alpha\\

\end{align}</math>

הצבת <math>\omega = -\Omega \sin \alpha</math> לתוך המשוואה ( 1 ) נותנת את המשוואה

2

({{{3}}})

כאשר <math>\alpha</math> מתקרב לאפס, המהירות הזוויתית <math>\Omega</math> נעשית גדולה מאוד ושואף לאינסוף, לכן הדיסקית תשמיע צליל בתדר גבוה. עם זאת, הסיבוב על פני המטבע, שמהירותו הזוויתית היא <math>\Omega - \omega_\text{rel} = \Omega(1 - \cos \alpha),</math> מתקרב לאפס. המהירות הזוויתית הכוללת <math>\omega=-\sqrt{\frac{g \sin \alpha}{a k}}</math> גם שואפת לאפס וכך גם האנרגיה הכוללת:

<math display="block">E=Mga\sin \alpha + \tfrac{1}{2} kMa^2 \omega^2 = Mga\sin \alpha + \tfrac{1}{2} M k a^2 \frac{g \sin \alpha}{a k} = \tfrac{3}{2} M g a \sin \alpha </math>

כאשר <math>\alpha</math> מתקרב לאפס, תוך שימוש במשוואה המשוואה (2).

ג <math>\alpha</math> שואף לאפס הדיסק כולו במגע עם השולחן ונעשה אופקי. כאשר שומעים צליל בתדר <math>\frac{\Omega}{2\pi}</math>, שהופך לגבוה יותר באופן משמעותי, והוא <math>\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{ak}} \sqrt{\frac{1}{\sin \alpha}}</math>, ככל שקצב הסיבוב מואט,<math>2 \sqrt{\frac{g}{ak}} \frac{(\sin \frac{\alpha}{2})^2}{\sqrt{\sin \alpha}}</math> זהו סך המהירות הזוויתית, עד שהקול נפסק בפתאומיות.

אשליית הריחוף

כאשר דיסקית סימטרית מעגלית שוקעת, נוצרים הפרשי גובה בין נקודה קבועה על המשטח התומך לבין הדיסקית המתנדנדת מעליו בתדירות הולכת וגוברת, בסנכרון עם זווית ציר הסיבוב (שאינה אנכית).

אשליית הריחוף נוצרת כאשר קצה הדיסק מחזיר אור כאשר הוא מוטה מעט כלפי מעלה מעל פני המשטח התומך,ונמצא בצל כאשר הוא בא במגע עם המשטח. הצל אינו מובחן, וההשתקפויות החוזרות במהירות מהקצה שמעל המשטח התומך יוצרות אשליה של ריחוף יציב. ראו: התמדה של הראייה .

ניתן לשפר את אשליית הריחוף על ידי שיפור של העקומה של הקצה התחתון כך שקו הצללים יישאר מורם כשהדיסק מתאזן. מראה יכולה לשפר עוד יותר את האפקט על ידי הסתרת משטח התמיכה ועל ידי כך הצגת הפרדה ברורה בין משטח הדיסק שנע ותמונת המראה.

דוגמה באמצעות מטבע עשר אגורות

מטבע עשר אגורות נקי, המסתובב על מראת יד שטוחה, כאשר מתבוננים בו מהצד סמוך למשטח המראה, מדגים את התופעה לכמה שניות.

כאשר המטבע מואר על ידי מקור נקודתי מעליו קרוב לזמן עצירתו. שפת המטבע מוארת כאשר ציר הסיבוב נוטה הרחק מן הצופה, ובצל כאשר ציר הסיבוב נוטה לעבר הצופה. הרטט הגובר מטשטש את הרכסים והעמקים מכדי להראות סיבוב. מה שיוצר אשליה של ריחוף.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא [[commons:Category:{{#property:P373}}|הדיסקית של אוילר]] בוויקישיתוף