בעיית ברוקר

קובץ:Question dropshade.png

בעיות פתוחות במתמטיקה: {{{2}}} (בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בעיית ברוקר היא בעיה מתמטית בתורת המספרים, המבקשת למצוא ערכים שלמים של n ו-m שעבורם:

<math>n!+1 = m^2</math>

כאשר n! הוא n עצרת. האתגר פורסם על ידי אנרי ברוקר בצמד מאמרים בשנים 1876 ו־1885, ובאופן בלתי תלוי בשנת 1913 על ידי סריניבאסה ראמאנוג'אן.

מספרי בראון

זוגות המספרים (n, m) הפותרים את בעייתו של ברוקר נקראים מספרי בראון. נכון למאי 2021, ישנם רק שלושה זוגות ידועים של מספרי בראון:

(4,5), (5,11) ו- (7,71).

המתמטיקאי פאול ארדש שיער כי אין פתרונות אחרים. אוברהולט (1993) הצליח להוכיח כי ישנו מספר סופי של פתרונות, אך זאת בתנאי שהשערת abc נכונה. ברנדט וגלאוויי (2000) ביצעו חישובים עבור ערכי n עד 10⁹ ולא מצאו פתרונות נוספים. מטסון (2017) האריך זאת בשלושה סדרי גודל לטריליון אחד. אפשטיין וגליקמן (2020) הרחיבו את מרחב החיפוש בשלושה סדרי גודל (עד קוודריליון אחד) והראו שאין במרחב זה פתרון נוסף.

גרסאות נוספות של הבעיה

דברובסקי (1996) הכליל את הבעיה על ידי כך שהראה כי מהשערת abc יוצא כי עבור כל:

<math>n!+A = k^2</math>

יש רק מספר פתרונות סופי, עבור כל מספר שלם A. תוצאה זו הוכללה עוד יותר על ידי לוקה (2002), שהראה (שוב בהנחה של השערת abc) כי למשוואה:

<math>n! = P(x)</math>

יש רק מספר סופי של פתרונות עבור פולינום P(x) נתון של מסדר שני לפחות עם מקדמים שלמים.

לקריאה נוספת

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

קישורים חיצוניים

• בעיית ברוקר, באתר MathWorld (באנגלית)