אלגברת מנה
פעולות נוספות
אלגברת המנה - הכללה של חבורת המנה וחוג המנה למבנה אלגברי כללי. משמשת בין היתר להכללת משפטי האיזומורפיזם באלגברה אוניברסלית.
הגדרה:
יהי <math>(A;f_1,...,f_n)</math> מבנה אלגברי עם n פעולות, ויהא <math>\equiv</math>יחס שקילות על אברי A כך שלכל פעולה <math>f_j</math>, אם מתקיים <math>a_i\equiv b_i</math> עבור i=1...k ,מתקיים גם:
<math>f_j(a_1,...,a_k)\equiv f_j(b_1,...,b_k)</math>
יחס השקילות משרה מבנה אלגברי חדש שנקרא אלגברת מנה <math>A/\equiv</math> שאבריו הם מחלקות השקילות המתאימות עם הפעולות: <math>f_j([a_1],...,[a_k])=[f_j(a_1,...,a_k)\big] </math> (לפי <math>\equiv</math>)
דוגמה -הכללה של משפט האיזומורפיזם הראשון:
יהיו A ו-B מבנים אלגבריים ויהא F אפימורפיזם מ-A על-B,אזי:
A/Φ איזומורפי ל-B. כש- Φ יחס השקילות המוגדר על אברי A כך:<math>a\equiv b</math> אם ורק אם <math>F(a)=F(b\big)</math>.
הוכחה(חלקית) :
תחילה נוכיח ש-Φ משרה אלגברת מנה:
תהי <math>f_j</math> פעולה k-ארית, ויהיו <math>a_i\equiv b_i</math>(לפי Φ) עבור i=1...k (זאת אומרת <math>F(a_i)=F(b_i\big)</math> עבור i=1...k). מכאן נובע ש,<math>F(f_j(a_1,...,a_k))=(\hat{f_j}(F(a_1)),...,\hat{f_j}(F(a_k)))=(\hat{f_j}(F(b_1)),...,\hat{f_j}(F(b_k)))=F(f_j(b_1,...b_k))</math> זאת אומרת, <math>f_j(a_1,...,a_k)\equiv f_j(b_1,...,b_k)</math>
נגדיר הומומורפיזם מ-A/Φ ל-B כך:
<math>\ \Psi([a])=F(a)</math>
הוא חח"ע כי צמצמנו את כל הערכים השווים למחלקות שקילות (איברים בודדים),ועל בירושה מ-F.
