אי-שוויון מרקוב
פעולות נוספות
בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי אי שלילי יהיה גדול מקבוע נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעיתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי. לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי רף הכניסה לעשירון העליון של ההכנסות יהיה פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.
אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדריי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.
נוסח פורמלי עריכה
במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מידה <math>(X,\Sigma,\mu)</math> ופונקציה מדידה <math>f</math> אל הישר הממשי המורחב, אז לכל <math>t>0</math> מתקיים:
| קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
בערך זה |
<math display="block"> \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.</math>
במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל <math>a>0</math> מתקיים <math display="block">\Pr(|X| \geq a) \leq \frac{E(|X|)}{a}</math>
הוכחה עריכה
מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית. f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה <math> \{x\in X:f(x)\geq t\} </math> מדידה. מתקיים:
<math display="block"> t * 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}} \leq f</math> נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון: <math display="block"> \int_X t * 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}}d\mu \leq \int_X f d\mu</math> לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים: <math display="block"> t * \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq \int_X f d\mu</math> נחלק ב-t ונקבל: <math display="block"> \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq {1\over t} \int_X f d\mu</math> כנדרש.
הוכחה למשתנים מקריים עריכה
יהי <math>X</math> משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי:
<math>E[X] = \int_{0}^{\infty}x f_{X}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}xf_{X}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}af_{X}(x)dx = a\int_{a}^{\infty}f_{X}(x)dx = aP(|X|\ge a) </math>
קישורים חיצוניים עריכה
- אי-שוויון מרקוב, באתר MathWorld (באנגלית)