אי-שוויון יאנג
פעולות נוספות
במתמטיקה, אי-שוויון יאנג (באנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג (אנ'). אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.
אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים <math>a, b \geq 0</math>, מתקיים: <math display=block>a b \leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}</math>
במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים <math>a, b \geq 0</math>, ועבור <math>p,q \geq 1</math> כך ש <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,</math>,
<math display=block>a b ~\leq~ \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math>
השוויון מתקבל אם ורק אם <math>a^p = b^q</math>.
הוכחה עבור חזקה 2 עריכה
עבור a ו b ממשיים, <math display=block>0 \leq (a-b)^2</math> נפתח את הסוגריים, ונקבל: <math display=block>0 \leq a^2 - 2 a b + b^2</math> נחבר <math>2ab</math> לשני הצדדים, <math display=block>2 a b \leq a^2 + b^2</math> ולבסוף, נחלק ב <math>2</math> : <math display=block>a b \leq \frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2}</math>
הוכחה למקרה הכללי עריכה
נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר <math>a = 0</math> או <math>b = 0</math> אי השוויון מתקיים. נניח ש <math>a > 0</math> וגם <math>b > 0</math>. נגדיר <math>t = 1/p </math>. נקבל ש <math>(1 - t) = 1/q</math>.
בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שוויון ינסן, ולקבל: <math display=block>\ln\left(t a^p + (1-t) b^q\right) ~\geq~ t \ln\left(a^p\right) + (1-t) \ln\left(b^q\right) = \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)</math> נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל <math display=block>t a^p + (1-t) b^q ~\geq~ ab</math> נציב את <math>t</math> ונקבל את אי-שוויון יאנג.
קישורים חיצוניים עריכה
- אי-שוויון יאנג, באתר MathWorld (באנגלית)
