פנים (טופולוגיה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולות נוספות
בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה <math>A</math> ב-<math>\mbox{Int}(A)</math> או ב-<math>A^{\circ}</math>.
הגדרה פורמלית עריכה
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
- תהא <math>A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, <math>\mbox{Int}(A)</math>, בתור קבוצת כל הנקודות <math>x\isin A</math> כך שקיימת קבוצה פתוחה <math>B</math> כך ש-<math>x\isin B\subseteq A</math> – כלומר, הקבוצה <math>A</math> היא סביבה של <math>x</math>.
- תהא <math>A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-<math>A</math>. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-<math>A</math>.
- תהא <math>A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: <math>\mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c </math>.
דוגמה עריכה
נחשב את הפנים של הקטע הסגור <math>[0,1]</math> בישר הממשי.
- <math>[0,1]^c = (-\infty,0) \cup (1,\infty)</math>
- <math>\overline{[0,1]^c} = (-\infty,0] \cup[(1,\infty)</math>
- <math>(\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)</math>
ולכן הפנים של <math>[0,1]</math> הוא הקטע הפתוח <math>(0,1)</math>.
תכונות הפנים עריכה
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.
- כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: <math>A=\mbox{Int}(A)</math>. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן <math>\mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right)</math>.
- <math>A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)</math>
- <math>\mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)\subseteq \mbox{Int}\left(A\cup B\right)</math>
- <math>\mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)</math>
חוץ עריכה
החוץ של קבוצה <math>A</math>, המסומן <math>\mbox{Ext}(A)</math>, מוגדר כפנים של המשלים שלה: <math>\mbox{Ext}(A) = \mbox{Int}(A^c)</math>. באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: <math>\mbox{Ext}(A) = (\mbox{Cl}(A))^c</math>.
השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה