משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן.

ניסוח המשפט

תהי <math>A\subset X^*</math>קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר <math>A_r= A\cap B^*_r</math> כאשר <math>B^*_r</math> הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2) <math>A_r</math> סגורה w* לכל <math>r>0</math>.

2') קיימת סדרה <math>r_n\to \infty</math> כך שלכל n, <math>A_{r_n}</math> סגורה w*.

הוכחה

סימונים: נסמן ב-<math>B^*_r</math> את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב-<math>B_r</math> הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב-<math>\mathbb{K}</math> את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו <math>B^*_r</math> הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם <math>0<s<r</math> אז <math>A_s=A_r \cap B^*_s</math>. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא <math>(2)\Rightarrow (1)</math>.

טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם <math>A+\phi,\lambda A ( \lambda >0,\phi \in X^*)</math> מקיימות את (2).

הוכחה:

ניפוח: לכל <math>\lambda,r>0</math> מתקיים ש-<math>(\lambda A)_r = \lambda A_{r/\lambda}</math>. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע <math>r>0,\phi \in X^*</math>. תהי <math>\{\psi_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\subset (A+\phi)_r</math> רשת המתכנסת w* לאיבר <math>\psi \in X^*</math>. נראה ש-<math>\psi \in (A+\phi)_r</math>. מכיוון ש-<math>B^*_r</math> w* סגורה, מספיק להוכיח ש-<math>\psi \in A + \phi</math>. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש-<math>||\psi_\lambda - \phi|| \leq ||\phi||+||\psi_\lambda|| \leq ||\phi|| +r</math> לכן <math>\{\psi_{\lambda}-\phi\}_{\lambda \in \Lambda}\subset (A)_{r+||\phi||}</math> רשת המתכנסת ל-<math>\psi -\phi</math>. מההנחה נקבל ש-<math>\psi -\phi \in A \Rightarrow \psi \in A + \phi</math> וסיימנו.

טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

הוכחה:

תהי <math>\phi_n \to \phi, \phi_n \in A</math>. בפרט יש <math>r>0</math> כך ש-<math> \phi_n \in A_r</math>. מההנחה <math>\phi_n \to \phi</math> ולכן <math>\phi_n \overset{\mathrm{w}}\to \phi</math> ומההנחה <math> \phi \in A_r\sub A</math>.

המשך הוכחת המשפט:

יהי <math>\phi \in X^*\setminus A</math> רוצים למצוא סביבה חלשה <math>V</math> של <math>\phi</math> כך ש-<math>A \cap V =\empty</math>. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש-<math>\phi = 0</math>. נשתמש בלמה הבאה:

למה: נניח ש-<math>0 \not \in A</math> אז יש סדרה <math>x_n \in X</math> המקיימת:

1) <math>x_n \to 0</math>

2) לכל <math> \phi \in A</math> יש n כך ש-<math>|\phi(x_n)| > 1</math>.

הוכחת הלמה:

בהינתן קבוצה <math>M \subset X</math> נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת <math>P(M)=\{\phi \in X^*: |\phi(x)|\leq 1 \forall x \in M\}</math>. כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש <math>\rho > 0</math> כך שלכל x ב-A, <math>||x|| \geq \rho</math>. על ידי ניפוח ניתן להניח ש-<math>\rho > 1</math> ולכן <math>A_1 = \empty</math>. נקבע <math>F_0 = \{0\}</math> ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות <math>F_n \subset X</math> המקיימות לכל <math>n \geq 1</math>:

א. <math>F_n \subset B_{1/n}</math>.

ב. <math>A_n \cap (\cap_{i=0}^{n-1}P(F_i)) = \empty</math>.

כיוון ש-<math>A_1 = \empty</math>, רואים ש-<math>F_0</math> מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו <math>\{F_i\}_{i=0}^{N-1}</math> נמצא את <math>F_{N}</math>. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה <math>K = A_{N+1}\cap (\cap_{i=0}^{N-1}P(F_i))\subset B^*_{N+1}</math> היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית <math>G \subset B_{1/N}</math> מתקיים <math>K \cap P(G) \not= \empty</math>. מקומפקטיות נקבל ש-<math>\cap_{G\subset B_{1/N},|G|<\infty}(K \cap P(G)) \not= \empty</math>. יהי <math>\phi</math> בחיתוך הנ"ל. אז <math>\phi \in K</math>. כמו כן לכל <math>x \in X, ||x||<1/N</math> מתקיים ש-<math>|\phi(x)| \leq 1</math>. מכך נקבל ש-<math>||\phi|| \leq N</math> ואז <math>\phi \in K \cap B^*_N = A_N\cap (\cap_{i=0}^{N-1}P(F_i))</math> בסתירה להנחה שבחרנו על <math>\{F_i\}_{i=0}^{N-1}</math>. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש-<math>\{F_i\}_{i=0}^{\infty}</math> סופיות אז <math>\cup_{i=0}^\infty F_i</math> בן מנייה ויהי <math>\{x_n\}</math> מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי <math> \phi \in A</math>. נקבע <math>N</math> כך <math>||\phi|| \leq N+1</math>. מתנאי ב נקבל שיש <math>j \leq N</math> כך ש-<math> \phi \not \in P(F_j)</math> ולכן יש <math>x_n\in F_j</math> כך ש-<math>|\phi(x_n)| > 1</math> וקיבלנו את (2).

הוכחת המשפט: נקבע סדרה <math>x_n \in X</math> כמו בלמה. מ-(1) יש <math>r>0</math> כך שמתקיים <math>||x_n|| \leq r</math>. נתבונן באופרטור <math>T:X^* \to \mathbb {K}^{\mathbb{N}}, T(\phi) = \{\phi(x_n)\}_{n=1}^\infty</math>. ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי <math>Range(T) \subset c_0</math>. כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש-<math>||T(\phi)_n||=||\phi(x_n)||\leq ||\phi|| ||x_n|| \leq ||\phi||r</math>. מקמירות A נקבל ש-<math>T(A)</math> קמורה. תהי <math>B = \{b \in c_0:||b||_\infty<1\}</math>. אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש-<math>T(A) \cap B =\empty</math>. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל <math>\eta \in (c_0)^*</math> וכן <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> כך ש-<math>\Re(\eta(a))\geq \alpha > \Re(\eta(b)) ,\forall a \in T(A), b \in B</math>. אם נציב b=0 נקבל ש-<math>\alpha >0</math>. כיוון ש-<math> (c_0)^* \cong l_1</math> נקבל שיש סדרה <math>t = (t_n) \in l_1</math> כך ש-<math>\eta(y) = \sum_{i=1}^\infty t_iy_i</math>. מתקיים <math>||t_nx_n|| = |t_n|||x_n|| \leq |t_n|r \Rightarrow \sum_{i=1}^\infty ||t_nx_n||\leq r\sum_{i=1}^\infty |t_n| < \infty</math> וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש <math>x = \sum_{i=1}^\infty t_nx_n</math>. לכל <math>\phi \in X^*</math> מתקיים: <math>\eta(T(\phi))=\sum_{i=1}^\infty t_iT(\phi)_n=\sum_{i=1}^\infty t_i\phi(x_n) = \phi(x)</math>. לכן נקבל עבור <math>\phi \in A</math>ש <math>\Re(\phi(x))\geq \alpha</math>. לכן אם נבחר את הסביבה <math>V = \{\phi \in X^*| \Re(\phi)<\alpha\}</math> אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

שימושים

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

ראו גם

משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

לקריאה נוספת

• בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.

• .
• .
• .

קישורים חיצוניים

• הוכחת המשפט
• הרחבות של המשפט