משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.

ניסוח

תהי <math>f \in C^1(U,\mathbb{R}^n)</math> (גזירה ברציפות) כאשר <math>U \subseteq \mathbb{R}^n</math> פתוחה ותהי נקודה <math>\mathbf{a} \in U</math>. נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים <math>\det \mathrm{J}_f(\mathbf{a}) \neq 0</math> (כלומר הדיפרנציאל בה, <math>\mathrm{D}f(\mathbf{a})</math>, הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה <math>\mathbf{a} \in V \subseteq U</math> כך ש-<math>W = f(V)</math> אף היא פתוחה, והפונקציה <math>f \colon V \to W</math> חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית <math>f^{-1} \colon W \to V</math> אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות <math>W</math> מתקבל על ידי

<math>\mathrm{D}f^{-1}(\mathbf{y}) = [\mathrm{D}f(\mathbf{x})]^{-1}</math>

לכל <math>\mathbf{x} \in V</math>, כאשר <math>\mathbf{y} = f(\mathbf{x})</math> (צורות רישום נוספות: <math>\mathrm{D}f^{-1}(\mathbf{y}) = [\mathrm{D}f(f^{-1}(\mathbf{y}))]^{-1}</math> או <math>\mathrm{D}f^{-1}(f(\mathbf{x})) = [\mathrm{D}f(\mathbf{x})]^{-1}</math>).

דוגמה

תהי הפונקציה <math>f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> המוגדרת על ידי <math>f(x,y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)</math>. פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור <math>2\pi</math> של ערכי <math>y</math>. עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם

<math>\mathrm{J}_f(x,y) = \begin{pmatrix} e^x \cos y & -e^x \sin y \\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{pmatrix}</math>

ואזי היעקוביאן הוא <math>\det\mathrm{J}_f(x,y) = e^{2x} \neq 0</math>. מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.

ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת <math>f(z) = e^z</math> ולכל סביבה של נקודה קיים ענף של פונקציית הלוגריתם המרוכבת <math>g(w) = \log w</math> המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: <math>e^{z+i2\pi k} = e^z</math> לכל <math>k \in \mathbb{Z}</math>).

מקרה פרטי

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו <math>n=1</math>: תהי <math>f \colon U \to \mathbb{R}</math> גזירה ברציפות. תהי <math>a \in U</math> נקודה המקיימת <math>f'(a)\neq0</math>.

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x \in (a-\delta,a+\delta)</math> ,<math>f'(x) \neq 0</math>.

נניח כי <math>f'(a)>0</math> אז מהיות <math>\ f'</math> רציפה, לכל <math>x\in(a-\delta,a+\delta)</math>, <math>\ f'(x)>0</math> שהרי אחרת היה קיים <math>x_{0}\in(a-\delta,a+\delta)</math> עבורו <math>f'(x_{0})=0</math> ממשפט ערך הביניים.

לכן <math>f</math> מונוטונית עולה ממש בכל <math>(a-\delta,a+\delta)</math>, מה שגורר כי <math>f</math> חד-חד-ערכית בכל <math>(a-\delta,a+\delta)</math>. מכאן ניתן להגדיר <math>f^{-1} \colon f((a-\delta,a+\delta)) \to (a-\delta,a+\delta)</math> הגזירה בכל נקודה פנימית ב-<math>y_0 \in f(a-\delta,a+\delta)</math> (נסמן <math>y_0 = f(x_0)</math>), שכן ניתן לחשב ולקבל כי

<math>(f^{-1})'(y_0) = \lim_{y \to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \lim_{y \to y_0} \frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}} = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \frac{1}{f'(x_0)}</math>

כלומר

<math>\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}</math>

(אכן <math>f^{-1}(x)\in(a-\delta,a+\delta)</math> ובקטע זה הנגזרת של <math>f</math> שונה מ-<math>0</math>).

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות, באתר "לא מדויק", 29 באוקטובר 2015
• משפט הפונקציה ההפוכה, באתר MathWorld (באנגלית)