מטריצת ונדרמונד
פעולות נוספות
באלגברה ליניארית, מטריצת ונדרמונד (על שם אלכסנדר ונדרמונד) היא מטריצה מסדר <math> n \times m </math> כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא סדרה הנדסית, כמתואר כאן: <math display="block">V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix}</math>
אם המטריצה ריבועית (<math>m=n</math>), אז הדטרמיננטה שלה, הנקראת דטרמיננטת ונדרמונד, מבוטאת על ידי הביטוי: <math>\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) </math>.
מטריצה זו מעריכה פולינום בנקודות: היא מעבירה את מקדמי הפולינום <math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}</math> לערכים שהפולינום מקבל בנקודות <math>\alpha_i</math>. לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה פולינומית, אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.
דוגמה למטריצת ונדרמונד מיוחדת היא מטריצה של התמרת פורייה שבה <math>\alpha_i</math> נבחרים להיות שורשי היחידה:
<math> W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&\cdots &1 \\ 1&\omega&\omega^2&\omega^3&\cdots&\omega^{N-1} \\ 1&\omega^2&\omega^4&\omega^6&\cdots&\omega^{2(N-1)}\\ 1&\omega^3&\omega^6&\omega^9&\cdots&\omega^{3(N-1)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\omega^{N-1}&\omega^{2(N-1)}&\omega^{3(N-1)}&\cdots&\omega^{(N-1)(N-1)}\\ \end{bmatrix} </math>, כאשר <math>\omega = e^{-\frac{2\pi i}{N}}</math>.
קישורים חיצוניים עריכה
- מטריצת ונדרמונד, באתר MathWorld (באנגלית)
- כיצד לחשב את דטרמיננטת ונדרמונד באתר ProofWiki
