חבורות מתיו
פעולות נוספות
בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות <math>M_{9}, M_{10}, M_{11}, M_{12}</math> ו-<math>M_{21}, M_{22}, M_{23}, M_{24}</math>, שמהן <math>M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}</math> הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם <math>M_{21}</math> פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות <math>\operatorname{PSL}_3(\mathbb{F}_4)</math>). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.
בניית חבורות מתיו עריכה
החבורה <math>M_{10}</math> היא תת-חבורה מאינדקס 2 של <math>PGL_2(\mathbb{F}_9)\cdot \langle \phi \rangle </math>, כאשר <math>\phi</math> הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן <math>\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_9)</math> ו-<math>\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_9)\cdot \langle{\phi}\rangle</math>), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי <math>\mathbb{F}_9\cup \{\infty\}</math>. פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.
אם מוסיפים ל-<math>M_{10}</math> את התמורה <math>(\omega \infty)(\lambda \mapsto \pi^2 \lambda+\pi \phi(\lambda))</math>, כאשר <math>\pi</math> יוצר של השדה מסדר 9, המקיים <math>\pi^2+\pi=1</math>, מתקבלת החבורה <math>M_{11}</math>, שפעולתה על <math>\mathbb{F}_9\cup \{\infty,\omega\}</math> היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר <math>S(4,5,11)</math>, שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.
כשמוסיפים לזה את התמורה <math>(\omega\Omega)\circ \phi</math>, מתקבלת החבורה <math>M_{12}</math>, שפעולתה על <math>\mathbb{F}_9\cup \{\infty,\omega,\Omega\}</math> היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר <math>S(5,6,12)</math>, היחידה עם פרמטרים אלו.
החבורה <math>PSL_3(\mathbb{F}_4)</math> פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת <math>M_{22}</math>. הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר <math>S(3,6,22)</math>. החבורה <math>M_{22}</math> מוכלת בחבורה <math>M_{23}</math> הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא <math>M_{22}</math> (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של <math>S(4,7,23)</math>; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים <math>M_{24}</math> של המערכת <math>S(5,8,24)</math> פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-<math>\ M_{23}</math>.
