כיסוי (טופולוגיה)
פעולות נוספות
במתמטיקה, ובעיקר בטופולוגיה, כיסוי של קבוצה הוא משפחה של קבוצות שאיחודן מכיל את הקבוצה הנתונה.
הגדרה עריכה
כיסוי של קבוצה <math>X</math> הוא משפחה של תת-קבוצות <math>\mathcal{C} = \left\{C_\alpha \right\}_{\alpha \in A }</math> המקיימת <math>X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} C_\alpha</math>.
משפחה <math>\mathcal{C}' \subset \mathcal{C}</math> נקראת תת-כיסוי, אם גם <math>\mathcal{C}'</math> מהווה כיסוי של <math>X</math>.
אם <math>\mathcal{C}, \mathcal{D}</math> זוג כיסויים של קבוצה כלשהי, אומרים כי <math>\mathcal{C}</math> הוא עידון של <math>\mathcal{D}</math>, אם לכל איבר <math>C \in \mathcal{C}</math> קיים איבר <math>D \in \mathcal{D}</math> המקיים <math>C \subset D</math>.
בטופולוגיה עריכה
כאשר כל הקבוצות בכיסוי הן קבוצות פתוחות במובן הטופולוגי, הכיסוי מכונה "כיסוי פתוח". לכיסויים פתוחים יש תפקיד מרכזי וחשוב בטופולוגיה.
כיסוי פתוח <math>\mathcal{C} = \left\{C_\alpha \right\}_{\alpha \in A }</math> של מרחב טופולוגי <math>X</math> נקרא סופי נקודתית, אם כל נקודה <math>x \in X</math> שייכת רק למספר סופי של קבוצות בכיסוי. כמו כן הוא נקרא סופי מקומית, אם לכל <math>x \in X</math> קיימת סביבה פתוחה <math>x \in U \subset X</math>, כך שהקבוצה <math>\left\{ \alpha \in A \mid C_\alpha \cap U \neq \emptyset \right\}</math> סופית.
מושג הכיסוי משמש להגדרת מושגים יסודיים בטופולוגיה:
- מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי סופי.
- מרחב טופולוגי נקרא לינדלף, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי בן מניה.
- מרחב טופולוגי נקרא מטא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי נקודתית.
- מרחב טופולוגי נקרא פרא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי מקומית.
דוגמאות עריכה
באופן טריוויאלי, לכל קבוצה <math>X</math>, האוסף המנוון <math>\left\{ X \right\}</math> הוא כיסוי של <math>X</math>.
בנוסף, לכל תת-קבוצה <math>Y \subset X</math>, האוסף <math>\left\{ Y, Y^c \right\}</math> הוא כיסוי של <math>X</math>.
אם <math>X</math> קבוצה סדורה לא חסומה (מלעיל ומלרע), אז לכל <math>x,y \in X</math> ניתן להגדיר <math>C_{x,y} = \left\{ z \in X \mid x < z < y \right\}</math>, ואז האוסף <math>\left\{ C_{x,y} \right\}_{x,y \in X}</math> מהווה כיסוי.
בהקשר הטופולוגי, המקרה האחרון הוא כיסוי פתוח שמוגדר להיות התת-בסיס של סיגמא-אלגברת בורל.