סדרה חשבונית

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: <math>\ a_{n+1}-a_n=d</math> (<math>a_n</math> הוא האיבר ה-<math>n</math> בסדרה). לדוגמה, בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא מספר קבוע, במקרה זה 2. בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והאיבר העוקב לו, ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית).

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

• <math>a_1</math> – האיבר הראשון בסדרה. נקרא בסיס הסדרה
• <math>d</math> – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה. נקרא הפרש הסדרה
• <math>n</math> – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)

לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

נוסחה לאיבר הכללי

אם <math>a_1</math> הוא האיבר הראשון, ו-<math>d</math> הוא ההפרש, האיבר ה-<math>n</math> נתון על ידי הנוסחה:

<math>a_n=a_1+(n-1) \cdot d</math>

הוכחה לנוסחת האיבר הכללי

הוכחה – נשתמש בתכונות הטור הטלסקופי:

<math>a_n-a_1 = (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+ \dots +(a_2-a_1) = d \cdot (n-1)</math>

כאשר השוויון הראשון נובע מזה שכל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים. נעביר את <math>a_1</math> אגף ויתקבל:

<math>a_n=a_1+d(n-1)</math>

הוכחה נוספת

ניעזר באינדוקציה: כדי להוכיח את נוסחת האיבר הכללי, נבדוק את נכונותה עבור <math>n=1</math>. במקרה זה, אכן מתקיים <math>a_1 +d \cdot (1-1) =a_1 </math>. נניח כעת שמתקיים <math>a_n=a_1+(n-1) \cdot d</math> עבור <math>n</math> ספציפי כלשהו ונוכיח שמתקיים <math>a_{n+1}=a_1+n \cdot d</math>. נשים לב שמתקיים:

<math>a_1+n \cdot d= a_1 +nd-d+d=a_1+(n-1)d+d = a_n+d = a_{n+1}</math>, כאשר השוויון הלפני-אחרון נכון בגלל הנחת האינדוקציה.

סכום הסדרה

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-<math>n</math> (כולל) לפי הנוסחה:

<math>S_n = \frac{n \cdot (a_1+a_n)}{2} = \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}</math>

הוכחה

קובץ:Arithmetic progression.svg

הוכחה ויזואלית לנוסחת הסכום: הבלוקים הדהויים הם שיקוף מסובב של הסדרה החשבונית

את הסכום של <math>n</math> האיברים הראשונים בסדרה <math> S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n</math>, ניתן לרשום בשני אופנים:

<math> S_n = (a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n</math>

<math> S_n = a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה יתקבל:

<math>2S_n=n(a_1+a_n)</math>

ולכן:

<math> S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}</math>

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: <math>a_n=a_1+d(n-1)</math>, והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

<math> S_n=\frac{n(a_1+a_1+d(n-1))}{2}=\frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}</math>

נוסחאות נוספות

נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: <math>S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}</math>.

הוכחה

נתונה סדרה: <math>a_1,a_2,a_3,....a_{2n}</math>, כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא <math>a_{2n}</math> (כלומר, יש <math>2n</math> איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. יש <math>2n</math> איברים בסדרה, אז יש <math>n</math> איברים שמיקומם זוגי ו-<math>n</math> איברים שמקומם אי-זוגי.

סכום האיברים הזוגיים הוא:

<math>S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}</math>

<math>a_2</math> הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית. מכיוון שהפרש הסדרה הוא <math>d</math>, אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא <math>2d</math>, ולכן סכום האיברים הזוגיים הוא:

<math>S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}</math>

ניתן להציב <math>\ a_2=a_1+d</math> במשוואה המקורית. לאחר פישוט יתקבל:

<math>S_{n(even)}=na_1+n^2d</math>.

ניתן לעשות כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ויתקבל:

<math>S_{n(odd)}=na_1+n^2d-nd</math>

ניתן לחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ולקבל:

<math>S_{n(even)}-S_{n(odd)}=nd</math>

מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא <math>2n</math> ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת <math>n</math> איברים, נחלק את ה-<math>n</math> במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב <math>\frac{n}{2}</math> במקום <math>n</math>).

יתקבל: <math>S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}</math>

דוגמאות

קובץ:Sum-square01.png

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך מספר ריבועי)

• הסכום של הסדרה החשבונית: 1, 3, 5, ..., בעלת <math>n</math> איברים הוא <math>n^2</math>.
• הסכום של הסדרה החשבונית: 2, 4, 6, ..., בעלת <math>n</math> איברים הוא <math>n(n+1)</math>.

ראו גם

• סדרה הנדסית
• סדרה (מתמטיקה)
• טור (מתמטיקה)
• אינדוקציה מתמטית

היסטוריה

הנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית מתועדת ברצף היסטורי המקדים במאות שנים את הגילוי המיוחס לרוב לגאוס: ראשיתה בתלמוד הבבלי (שנחתם במאה ה-5, לפני למעלה מ-1,500 שנה), המציין את התוצאה החישובית של הסדרה; המשכה בפירוש התוספות (המאה ה-12, סביב שנת 1150), שניסח לראשונה את הכלל האלגברי המפורש ('טול חצי המניין הגדול ומכפלו במניין הגדול ויותר אחד...') והסביר את ההיגיון המתמטי של חלוקה לזוגות; ושיאה בתיעוד המודפס בדפוס ונציה משנת 1522, למעלה מ-250 שנה לפני הולדת גאוס.

קישורים חיצוניים

• סדרה חשבונית, באתר MathWorld (באנגלית)