מספר דלנואה
פעולות נוספות
מספר דלנואה (בצרפתית: Delannoy) במתמטיקה מתאר את מספר המסלולים בסריג מלבני מהפינה הדרום-מערבית (0,0) עד הפינה הצפון-מזרחית (m,n) תוך התקדמות צפונה, מזרחה או צפון-מזרחה בלבד. מספרי דלנואה נקראים על-שם המתמטיקאי הצרפתי הנרי דלנואה. מספרים אלה גם נותנים את:
- מספר הרצפים הגלובלי של שני רצפים באורך m ו n
- מספר הנקודות בסריג בעל מספר שלם m של ממדים במרחק צעדים מקסימלי n.
- באוטומט תאי את מספר התאים בסביבת פון נוימן במימד m וברדיוס n.
דוגמה עריכה
מספר דלנואה (3,3) הוא 63. באיור הבא מוצגים 63 מסלולי דלנואה בסריג 3 x 3:
תת הקבוצה של מסלולים שאינם חוצים את האלכסון דרום-מערב - צפון-מזרח ניתנת על ידי משפחת מספרים אחרת מספרי שרדר.
מערך דלנואה עריכה
מערך דלנואה הוא מטריצה אינסופית של מספרי דלנואה.
m / n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 2 1 5 13 25 41 61 85 113 145 3 1 7 25 63 129 231 377 575 833 4 1 9 41 129 321 681 1289 2241 3649 5 1 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073 6 1 13 85 377 1289 3653 8989 19825 40081 7 1 15 113 575 2241 7183 19825 48639 108545 8 1 17 145 833 3649 13073 40081 108545 265729 9 1 19 181 1159 5641 22363 75517 224143 598417
במערך המספרים בעמודה הראשונה שוים תמיד ל 1, בעמודה השנייה תמיד אי-זוגיים, בעמודה השלישית והרביעית סוגי מספרים מצולעים. ניתן לערוך את המספרים גם במערך משולש הדומה למשולש פסקל כאשר כל איבר הוא סכום שלושת האיברים שמעליו.
1
1 1
1 3 1
1 5 5 1
1 7 13 7 1
1 9 25 25 9 1
1 11 41 63 41 11 1
מספרי דלנואה מרכזיים עריכה
סדרת מספרי דלנואה המרכזיים היא אלכסון המערך ונותנת את מספר המסלולים בסריגים ריבועיים n X n. האיברים הראשונים של הסדרה הם: 1, 3, 13, 63, 321, 1683,... זו סדרה רקורסיבית :
<math> n D(n) = 3(2n-1)D(n-1) - (n-1)D(n-2)</math>
ניתן לבטא אותה באמצעות פולינומי לז'נדר <math>P_n(x)</math>:
- <math>D(n)=P_n(3)</math>
הפונקציה היוצרת היא:
- <math> \sum D(n) x^n = (1-6x+x^2)^{-1/2} </math>
ראו גם עריכה
קישורים חיצוניים עריכה
- מספר דלנואה, באתר MathWorld (באנגלית)