נוסחת ברטשניידר

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

<math> K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}</math>

<math>= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]} .</math>

כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות. הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה, שמתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה עריכה

סרטוט להוכחה.

נסמן באות K את שטח המרובע, אז:

<math> \begin{align} K &= \text{area of } \triangle ADB + \text{area of } \triangle BDC \\

                       &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}.

\end{align} </math> מכאן

<math> 4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. \, </math>

<math> a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, \, </math>

אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:

<math>\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. \,</math>

עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

<math> \begin{align} 4K^2 + \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} &= (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cos (\alpha + \gamma) \\

&= (ad + bc)^2 - 4abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right). \end{align} </math> מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

<math>16K^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).</math>

נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:

ונקבל כי

<math>16K^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)</math>

נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.