G-מודול

G-מודול הוא חבורה אבלית <math>M</math> שעליה פועלת חבורה <math>G</math> באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של <math>M</math>.‏ <math>G</math>-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה

תהי G חבורה ותהי <math>M</math> חבורה אבלית כך ש-<math>G</math> פועלת של <math>M</math> משמאל, כלומר:

<math>G \times M \to M \quad ; \quad (g,m) \mapsto g \cdot m</math>

כך ש-<math>1_G \cdot m = m</math> ולכל <math>g_1,g_2 \in G</math> ו-<math>m \in M</math> מתקיים <math>g_1 g_2 \cdot m = g_1 \cdot (g_2 \cdot m)</math>.

כדי ש-<math>M</math> תהייה <math>G</math>-מודול נדרוש שפעולת <math>G</math> מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של <math>M</math>, כלומר

<math>\forall g \in G : \forall a,b \in M : g \cdot (a + b) = g \cdot a + g \cdot b</math>.

במקרה זה אנו אומרים ש-<math>M</math> הוא <math>G</math>-מודול שמאלי. אם <math>G</math> פועלת על <math>M</math> מימין באופן דומה נקבל <math>G</math>-מודול ימני. את קטגוריית ה-<math>G</math> מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-<math>G</math>-מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות

בסעיף זה נניח שכל ה-<math>G</math>-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-<math>G</math>-מודולים ימניים.

העתקה <math>f:M\rightarrow N</math> תיקרא מורפיזם של <math>G</math>-מודולים או העתקה <math>G</math>-ליניארית או <math>G</math>-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של <math>G</math> (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

<math>f(a+b) = f(a)+f(b)</math> ו-<math>f(g \cdot m) = g \cdot f(m)</math>.

האוסף של <math>G</math>-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה <math>\mathbb{Z}[G]</math>.

תת-<math>G</math>-מודול <math>A</math> של <math>G</math>-מודול <math>M</math> הוא תת-חבורה <math>A\subseteq M</math> כך ש-<math>G \cdot A \subseteq A</math>, כלומר <math>g\cdot a \in A</math> לכל <math>g\in G</math> ו-<math>a\in A</math>. במקרה כזה אפשר להגדיר את <math>G</math>-מודול המנה <math>M/A</math> כחבורת מנה עם הפעולה <math>g\cdot (m+A)=g\cdot m + A</math>.

דוגמאות

• <math>G</math> חבורה כלשהי, <math>M=(\mathbb{Z},+)</math> ו-<math>G</math> פועלת טריוויאלית על <math>M</math>, כלומר: <math>g \cdot z = z</math>.
• <math>G = \mathbf{GL}_n(F)</math> החבורה הליניארית הכללית (<math>F</math> שדה) ו-<math>M = F^n</math> מרחב וקטורי מעל <math>F</math> מממד <math>n</math>.
• <math>G</math> ו-<math>M</math> הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של <math>G</math> על <math>M</math> תהיה גם רציפה.