הישר הממשי
פעולות נוספות
ערך מחפש מקורות
| ||
| ערך מחפש מקורות | |
הישר הממשי הוא תיאור גאומטרי של קבוצת כל המספרים הממשיים <math> \mathbb{R} </math>. המונח הישר הממשי מתייחס לקבוצת המספרים הממשיים יחד עם המבנה הגאומטרי והטופולגי שלה.
הישר כמרחב וקטורי עריכה
ניתן להתייחס לישר הממשי כמרחב וקטורי מממד 1 מעל שדה המספרים הממשיים, בעל מכפלה פנימית (כפל מספרים ממשיים רגיל) וכך נקבל כי הישר הוא מרחב אוקלידי מממד 1. עם זאת, מקרה זה אינו בעל עניין, ובדרך כלל נתחיל להתעניין במכפלות קרטזיות של הישר הממשי עם עצמו לקבלת מרחבים אוקלידיים מממדים גבוהים יותר, אולם הישר הממשי הוא אכן מרחב וקטורי והיה המקום הראשון בו הוחל בחקירת מבנים אלו.
שדה המספרים הממשיים הוא גם מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הרציונליים, מממד אינסופי.
עוצמה עריכה
עוצמתו של הישר הממשי מכונה "עוצמת הרצף". הוכחת האלכסון של קנטור מראה שעוצמה זו אינה בת מנייה.
טופולוגיה בישר הממשי עריכה
כאשר מתייחסים לישר הממשי כמרחב טופולוגי, הטופולוגיה עליו מוגדרת כטופולוגיה המושרית מהמטריקה הטבעית של הערך המוחלט <math>d(x,y) = |x-y|</math>, או באופן שקול, כטופולוגיית הסדר המושרית מיחס הסדר הקווי הרגיל שמוגדר עליו. יחד עם זאת ניתן להגדיר על המספרים הממשיים טופולוגיות נוספות כדוגמת: הישר של סורגנפריי, טופולוגיה דיסקרטית ועוד.
הישר הממשי מהווה דוגמה יסודית לתכונות טופולוגיות רבות. לדוגמה הישר הממשי הוא קומפקטי מקומית אבל לא קומפקטי, הוא מרחב מטרי שלם, קשיר, פרקומפקטי שמקיים את האקסיומה השנייה של המנייה. בנוסף, הוא בעל מבנה של יריעה חלקה ואף אנליטית באופן טריוויאלי, וכל מבנה אחר של יריעה חלקה שמוגדר עליו, שהומאומורפי למבנה הטופולוגי הרגיל, דיפאומורפי למבנה הדיפרנציאלי הטריוויאלי.
קישורים חיצוניים עריכה
- הישר הממשי, באתר MathWorld (באנגלית)
| מערכות מספרים | ||
|---|---|---|
| מספרים | המספרים הטבעיים <math>\mathbb{N}</math> (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math> (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים <math>\mathbb{R}</math> (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים <math>\mathbb{C}</math> (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה) | |
| הרחבות של חוג המספרים השלמים | חוג השלמים של גאוס <math>\ \mathbb{Z}[i]</math> • חוג השלמים האלגבריים <math>\ \overline{\mathbb{Z | |
</math> • חוג השלמים של אייזנשטיין <math>\ \mathbb{Z}[\omega]</math>
|קבוצה3=הרחבות של שדה המספרים הרציונליים |רשימה3=שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים <math>\ \overline{\mathbb{Q}}</math> (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים <math>\mathbb{Q}_p</math> (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי |קבוצה4=מעבר למרוכבים |רשימה4=אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון <math>\ {\mathbb{H}}</math>) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי <math>\ {\mathbb{O}}</math>) • אלגברות קיילי-דיקסון |יישור טקסט=ימין |קטגוריה= }} es:Recta real