imported>עוזי ו.: /* נורמליזטור */

2026-04-19T15:05:35Z

נורמליזטור

דף חדש

ב[[אלגברה]], '''תת חבורה נורמלית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)#תת-חבורות|תת-חבורה]] הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור [[חבורת מנה]], וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: התת-חבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת [[הרחבה של חבורות]].

==הגדרה==
תהא <math>G</math> חבורה ותהא <math>N\le G</math> תת-חבורה שלה. לכל איבר <math>g\in G</math>, הקבוצה <math>g^{-1}Ng=\bigl\{g^{-1}xg:x\in N\bigr\}</math> היא ה"הצמדה" של <math>N</math> על ידי <math>g</math>. אם לכל איבר <math>g</math> מתקיים <math>g^{-1}Ng\sube N</math>, אזי <math>N</math> היא '''תת-חבורה נורמלית''' של <math>G</math>, ומסמנים <math>N\trianglelefteq G</math>. אם בנוסף <math>N\ne G</math> אזי מסמנים <math>N\vartriangleleft G</math>.

===הגדרה באמצעות מחלקות===
קבוצה מהצורה <math>Ng=\{xg:x\in N\}</math> או <math>gN=\{gx:x\in N\}</math> נקראת "[[מחלקה (תורת החבורות)|מחלקה]]" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של <math>N</math>. התת-חבורה <math>N</math> נורמלית [[אם ורק אם]] לכל <math>g\in G </math> מתקיים <math>gN=Ng</math>. במקרה כזה, לכל <math>g\in G</math> ולכל <math>n_1\in N</math> קיים <math>n_2\in N</math> עבורם <math>gn_1=n_2g</math>.

מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה [[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיבית]] כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל <math>g\in G</math> ולכל <math>n\in N</math> מתקיים <math>ng=gn</math>.

==תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה==
בהינתן חבורה <math>G</math> ותת-חבורה <math>N\le G</math>, [[חבורת מנה|חבורת המנה]] <math>G/N</math> מוגדרת היטב אם ורק אם <math>N\trianglelefteq G</math>. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי המחלקות השונים יהיה מוגדר היטב:{{ש}}
תהי <math>H</math> תת-חבורה של <math>G</math> ויהיו <math>g_1,g_2\in G</math>. אנו רוצים שהכפל בין המחלקות יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר <math>(g_1H)(g_2H)=g_1g_2H</math>.{{ש}}
נוכיח זאת: יהיו <math>g_1,g_2\in G</math> איברים כלשהם. השוויון <math>(g_1H)(g_2H)=g_1g_2H</math> מתקיים רק אם קיימים <math>h_1,h_2,h_3\in H</math> עבורם <math>g_1h_1g_2h_2=g_1g_2h_3</math>, ובאמצעות אלגברה נקבל <math>h_1g_2=g_2h_3h_2^{-1}</math>, ואם נסמן <math>g=g_2\in G,\ n_1=h_1,\ n_2=h_3h_2^{-1}\in H</math> נקבל <math>n_1g=gn_2</math> לכל <math>g\in G</math> וקיום תנאי זה אומר כי <math>H</math> היא חבורה נורמלית.

ניתן להראות כי גרעין של [[הומומורפיזם]] שתחומו <math>G</math> הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של <math>G</math> היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו <math>G</math>.

==נורמליזטור==
אם <math>G</math> חבורה ו-<math>H</math> תת-חבורה, ה'''[[מנרמל]]''' (או: ה'''נורמליזטור''') של <math>H</math> ב-<math>G</math> הוא התת-חבורה <math>N_G(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}</math>. זוהי התת-חבורה הגדולה ביותר של <math>G</math> שבתוכה <math>H</math> נורמלית. המְרכז של <math>H</math>, <math>C_G(H) =\bigl\{x\in G:\forall h\in H,xhx^{-1}=h\bigr\}</math>, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים <math>C_G(H)\trianglelefteq N_G(H)</math>. האינדקס של הנורמליזטור ב-<math>G</math> שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה <math>xHx^{-1}</math> (היינו, התת-חבורות הצמודות ל-<math>H</math>).

==ליבה של חבורה==
אם <math>H \leq G</math> תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), '''הליבה''' של <math>H</math> מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה:
:<math>\text{Core}_G(H)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}</math>.
זאת תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב-<math>H</math> (ראו גם [[משפט קיילי#העידון של משפט קיילי|העידון של משפט קיילי]]). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד <math>g</math> מכל מחלקה ימנית של <math>H</math>, אם <math>H</math> תת-חבורה מאינדקס סופי, אזי הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.

==חבורות פשוטות==
חבורה <math>G </math> אשר התת-חבורות הנורמליות היחידות שלה הן <math>G</math> עצמה ו-<math>\{e\}</math> נקראת '''[[חבורה פשוטה]]'''. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]] מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.

==תת-חבורות אופייניות==
תת-חבורה נורמלית של <math>G</math> היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של <math>G</math>. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא '''תת-חבורה אופיינית''' (או '''קרקטריסטית'''): זאת תת-חבורה הנשמרת תחת כל [[אוטומורפיזם]] של <math>G</math> (ולא רק [[אוטומורפיזם פנימי]]). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של <math>G </math>). לדוגמה, ה[[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] של <math>G</math> הוא תת-חבורה אופיינית. גם [[תת-חבורת הקומוטטורים]] והאיברים האחרים של [[סדרה מרכזית|הסדרה המרכזית היורדת]] ו[[סדרה מרכזית|הסדרה המרכזית העולה]] הם תת-חבורות אופייניות.

לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם <math>A</math> תת-חבורה נורמלית של <math>B</math> ו-<math>B</math> נורמלית (ואפילו אופיינית) של <math>C</math>, אז <math>A</math> עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של <math>C</math>. לעומת זאת, אם <math>A</math> אופיינית ב-<math>B</math>, אז התכונות של <math>B</math> עוברות בירושה ל-<math>A</math>: אם <math>B</math> נורמלית ב-<math>C</math> אז כך גם <math>A</math>, ואם <math>B</math> אופיינית ב-<math>C</math> אז כך גם <math>A</math>.

==תת-חבורות תת-נורמליות==
אם קיימת שרשרת של תת-חבורות <math>G_t\le\cdots\le G_1\le G</math> כך שכל <math>G_{i+1}\trianglelefteq G_i</math>, אזי אומרים כי <math>G_t</math> תת-חבורה '''תת-נורמלית''' של <math>G</math>. לדוגמה, כל תת-חבורה של [[חבורת p]] סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה <math>H</math> אפשר לבנות את השרשרת
:<math>H\sube N_G(H)\sube N_G(N_G(H))\sube N_G(N_G(N_G(H)))\sube\cdots</math>
בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; <math>H</math> תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה <math>G</math>. חבורה היא '''כמעט תת-נורמלית''' אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי.

==חיתוך טריוויאלי==
אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI {{כ}}{{הערה|1=למידע נוסף: Trivial intersection groups, Gary Walls, Archiv der Matheamatic, Vol. 32, pp. 1-4, 1979}}.

תת-חבורה <math>H</math> של <math>G</math> נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאיננו שייך ל-<math>H</math> נחתכת עם <math>H</math> רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.

==דוגמאות==
*בכל [[חבורה אבלית]] כל תת-חבורה היא נורמלית.
*<math>A_n</math> תת-חבורה נורמלית של <math>S_n</math>, כאשר <math>S_n</math> היא [[החבורה הסימטרית]] מסדר <math>n</math> ואילו <math>A_n</math> היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] מסדר <math>n</math>.
*[[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית]] שנוצרת על ידי הסיבוב ב-<math>\tfrac{2\pi}{n}</math> היא תת-חבורה נורמלית של [[החבורה הדיהדרלית]] מסדר <math>n</math>.
*את שתי הדוגמאות האחרונות ניתן להכליל: כל תת-חבורה מאינדקס 2 היא נורמלית. זאת מכיוון שאם <math>[G:N]=2</math>, אז לכל <math>g\notin H</math>, הן <math>gH</math> והן <math>Hg</math> הם המחלקה הלא-טריוויאלית היחיד של <math>H</math>.
*עבור <math>n\ge5</math> אין ל-<math>S_n</math> תת-חבורות נורמליות פרט ל-<math>A_n</math>.

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{אלגברה מופשטת}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת החבורות]]

תת-חבורה נורמלית - היסטוריית גרסאות

imported>עוזי ו.: /* נורמליזטור */