imported>KotzBot: עדכון תבנית:דף שער בספרייה הלאומית בקישורים חיצוניים (תג)

2023-02-08T14:16:03Z

עדכון תבנית:דף שער בספרייה הלאומית בקישורים חיצוניים (תג)

דף חדש

'''תורת הקירובים''' היא תחום ב[[אנליזה מתמטית]], העוסק בקירוב מיטבי של [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] ו[[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] באמצעות פונקציות פשוטות יותר, ובהערכת השגיאה הכרוכה בקירוב שכזה.

ב[[מחשב]], המתוכנן לבצע רק מספר פעולות לוגיות ואריתמטיות, לרבות [[ארבע פעולות החשבון]], אפשר לחשב בקלות [[פולינום|פולינומים]]. בין השימושים החשובים של תורת הקירובים אפשר למנות את החישוב המהיר של פונקציות מורכבות יותר (כגון [[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות טריגונומטריות]], [[לוגריתם]] או [[פונקציה מעריכית]]), שאותן מקרבים באמצעות פולינומים או מנות של פולינומים.

[[תמונה:Experror.png|שמאל|ממוזער|240px|השגיאה בקירוב הפונקציה <math>\ e^x</math> באמצעות שני פולינומים ממעלה 4. גובה המשבצות בציר האנכי הוא <math>\ 10^{-4}</math>]]
בקירוב של פונקציה נתונה, המטרה המרכזית היא הקטנת גודל השגיאה. מטרה זו אפשר להשיג על ידי הגדלת ה[[מעלה של פולינום|מעלה]] של הפולינום בו משתמשים לקירוב. [[משפט הקירוב של ויירשטראס]] מבטיח שאם <math>\,f</math> היא [[פונקציה רציפה]] בקטע, אז קיימת סדרה של פולינומים המתכנסים אליה [[התכנסות במידה שווה|במידה שווה]] באותו קטע. במילים אחרות, אפשר להבטיח שגיאה מקסימלית קטנה ככל שנרצה, אם רק נרשה למעלת הפולינום להיות גדולה מספיק. במקרים אחרים יש לחלק את הקטע לקטעי-משנה, ולהשתמש בפולינום מתאים בכל אחד מאלו.

לאחר שנקבעו הפונקציה <math>\ f(x)</math>, מעלת הפולינום <math>\ n</math>, והקטע <math>\,I</math> שמעליו יחול הקירוב, מחפשים את הפולינום <math>\ P(x)</math> מן המעלה הרצויה, שעבורו הערך המקסימלי של השגיאה <math>\ |f(x)-P(x)|</math> יהיה הקטן ביותר האפשרי. באיור משמאל מובאת השוואה בין שני קירובים של הפונקציה <math>\ e^x</math> ב[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] <math>\ [-1,1]</math>, באמצעות פולינומים ממעלה 4: [[פולינומי צ'בישב|פולינום צ'בישב]] (כחול), והפולינום האופטימלי (אדום).

== סדרות של פונקציות וקירובים ==

אפשר לנסח את הבעיה הכללית של קירוב פונקציות באופן הבא. נתונה משפחה של פונקציות שאותן רוצים לקרב (למשל, פונקציות רציפות בקטע מסוים, נאמר <math>\,I</math>), ומשפחה של פונקציות "פשוטות", שבהן מותר להשתמש לצורך הקירוב (למשל, פולינומים). אם מטרת הקירוב היא להבטיח שגיאה קטנה בכל מחיר, נדרוש שלכל פונקציה <math>\,f</math> במשפחה הראשונה ולכל <math>\ 0<\varepsilon</math>, אפשר יהיה למצוא פונקציה פשוטה <math>\,p</math>, כך ש- <math>\ |f(x)-p(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>\,x</math> בקטע. בדרישה זו אפשר לטפל במסגרת ה[[אנליזה פונקציונלית|אנליזה הפונקציונלית]], באופן הבא: מניחים ש-<math>\,B</math> הוא [[מרחב בנך]] של פונקציות המוגדרות בקטע, למשל, מרחב הפונקציות הרציפות, עם [[המרחב L-אינסוף|נורמת הסופרימום]]. תנאי השגיאה החסומה שקול פורמלית לכך שמרחב הפונקציות הפשוטות <math>\,V</math> יהיה [[קבוצה צפופה|צפוף]] במרחב הפונקציות שרוצים לקרב, <math>\,B</math>.
באופן דומה אפשר לטפל גם בקירוב סימולטני של הפונקציה ושל נגזרות שלה, וכן הלאה.

במקרים אחרים מעוניינים יותר בגודל השגיאה הממוצעת, ומוכנים להרשות שגיאות גדולות יותר באופן נקודתי, בתנאי שהשגיאה הממוצעת תהיה קטנה. בבעיות כאלה מטפלים על ידי בחירת המשפחה <math>\,B</math> להיות [[מרחב הילברט]] (למשל, [[המרחב L2|מרחב הפונקציות]] <math>\,f</math> כך שה[[אינטגרל]] <math>\ \int_I f^2(x)\,dx</math> [[פונקציה אינטגרבילית|קיים וסופי]]). במקרה כזה אפשר לצפות שלקבוצת הפונקציות הפשוטות יהיה [[בסיס אורתונורמלי]], תכונה המאפשרת לחשב את הקירוב באמצעות נוסחאות אינטגרליות. [[אנליזת פורייה]], העוסקת בקירובים באמצעות פונקציות טריגונומטריות, מיוסדת על כך שהפונקציות <math>\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos(nt)}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin(nt)}{\sqrt{\pi}}</math> מהוות קבוצה אורתונורמלית של פונקציות במרחב <math>\ L^2[-\pi,\pi]</math>.

דוגמה חשובה בכיוון זה נותנים [[פולינומי צ'בישב]] <math>\ T_n(x)</math>, המהווים קבוצה אורתוגונלית מעל הקטע <math>\ [-1,1]</math>, עם המכפלה הסקלרית <math> \langle f,g \rangle =\int_{-1}^1 \frac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\, dx</math>. את הפולינומים אפשר להגדיר לפי הזהות <math>\ T_n(\cos(t))=\cos(nt)</math>, ומ[[נוסחאות דה-מואבר]] נובע שמעלתו של הפולינום ה-<math>\,n</math> בסדרה היא <math>\,n</math>. אם <math>\ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k T_k(x)</math>, אז <math>\ \sum_{k=0}^{n}c_kT_k(x)</math> הוא פולינום ממעלה <math>\,n</math>, המהווה בדרך כלל קירוב טוב מאוד (גם אם לא אופטימלי) לפונקציה <math>\,f</math> בקטע <math>\ [-1,1]</math>. סדרות אחרות של פולינומים המופיעים בהקשרים דומים הן הסדרות של [[פולינומי לז'נדר]] ו[[פולינומי הרמיט|הרמיט]].

== ראו גם ==

* [[טור פורייה]]

== לקריאה נוספת ==

<div style="direction: ltr;">
* A.F.Timan, Theory of approximation of functions of a real variable, 1963 {{ISBN|048667830X}}
* Linear Operators and Approximation Theory, P. P. Korovkin.
* K.-G. Steffens ''The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein'' Birkhauser, Boston 2006.
</div>
==קישורים חיצוניים==
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007294015005171|שיטות קרוב}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אנליזה נומרית]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]

תורת הקירובים - היסטוריית גרסאות

imported>KotzBot: עדכון תבנית:דף שער בספרייה הלאומית בקישורים חיצוניים (תג)