imported>נהג: תיקון קישור

2025-02-05T17:49:03Z

תיקון קישור

דף חדש

[[קובץ:Radian_cropped_color_(he).svg|שמאל|ממוזער|150px|זווית בגודל של רדיאן אחד נוצרת על ידי קשת שאורכה שווה לאורך של רדיוס המעגל]]

'''רדיאן''' הוא [[יחידת מידה]] [[גודל חסר ממד|חסרת ממד]] למדידת [[זווית|זוויות]] הכלול ב[[מערכת היחידות הבין-לאומית]]. בעבר היה הרדיאן יחידה משלימה של מערכת היחידות הבין-לאומית, אך קטגוריה זו בוטלה ב-[[1995]].

הרדיאן מוגדר כזווית היוצאת ממרכז [[מעגל]] ונוצרת על ידי [[קשת (גאומטריה)|קשת]] שאורכה שווה לאורך של [[רדיוס]] ה[[מעגל]] - <math>r</math> (ראו באיור משמאל). כיוון שהיקף מעגל הוא <math>2 \pi r</math>, במעגל כולו יש בסך הכל <math>\ 2 \pi</math>רדיאנים (<math>2 \pi r/r=2 \pi</math>). לרוב, גודל זווית ברדיאנים ניתן ללא ציון היחידה המפורשת (בהיותה חסרת ממד). לעיתים היחידה מצוינת בקיצור כ-rad.

==רדיאנים ומעלות==
[[קובץ:Degree-Radian Conversion.svg|שמאל|ממוזער|המרה בין מעלות (בתוך המעגל) לרדיאנים (מחוץ למעגל).]]
במובן מסוים, הרדיאנים הם יחידות הזווית האמיתיות, מאחר שמדובר בגדלים חסרי ממד הנקבעים על פי היחסים הטבעיים שבבעיה, רדיוס וקשת המעגל. זאת לעומת השימוש ב[[מעלה (זווית)|מעלות]], בו נעשית חלוקה שרירותית של המעגל ל-360 גזרות.

מכיוון שהמעגל מחולק ל-<math>\ 2\pi</math> רדיאנים ול- 360 מעלות:
* זווית של רדיאן אחד שווה לזווית של <math>\ 180/\pi \approx 57.29578</math> מעלות.
* זווית של מעלה שווה ל- <math>\ \pi/180 \approx 0.017</math> רדיאנים.

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF; text-align: center;"
|-
! [[מעלה (זווית)|מעלות]]
| 30
| 45
| 60
| 90
| 120
| 180
| 270
! 360
|-
! רדיאנים
| <math>\ \pi/6</math>
| <math>\ \pi/4</math>
| <math>\ \pi/3</math>
| <math>\ \pi/2</math>
| <math>\ 2\pi/3</math>
| <math>\ \pi</math>
| <math>\ 3\pi/2</math>
! <math>\ 2\pi</math>
|-
! [[גראד (זווית)|גרדיאנים]]
| ⅓ 33
| 50
| ⅔ 66
| 100
| ⅓ 133
| 200
| 300
! 400
|}
{{-}}

==שימוש ברדיאנים==
ב[[מתמטיקה]] ו[[פיזיקה]], כאשר מבצעים [[אנליזה מתמטית]] של [[פונקציות טריגונומטריות]], [[ארגומנט (אנליזה מרוכבת)|הארגומנט]] של הפונקציה ניתן תמיד ברדיאנים כך שהפונקציה מקבלת גודל חסר ממדים ומחזירה גודל חסר ממדים.
: לדוגמה: עבור [[גל]], פונקציית הגל מתוארת על ידי <math>\ \psi (t,x) = A \sin\left( \omega t - 2\pi x / \lambda \right)</math> כאשר <math>\ \omega</math> היא [[תדירות זוויתית|התדירות הזוויתית]] (יחידות של 1 חלקי זמן) ואילו <math>\ \lambda</math> הוא [[אורך גל|אורך הגל]] (יחידות של אורך).

אחד המניעים למדידת זוויות ברדיאנים, ולא במעלות, הוא שב[[חשבון אינפיניטסימלי]], השימוש ברדיאנים מוביל ל[[הגבול של sin(x)/x|זהות]] הפשוטה: <div style="text-;">
<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1</math>
</div>
אשר היא הבסיס לזהויות רבות במתמטיקה דוגמת נוסחאות [[נגזרת|הגזירה]] של הפונקציות ה[[טריגונומטריה|טריגונומטריות]]. לכן, הרדיאן הוא יחידת מידה "טבעית" לזווית. לו הזווית הייתה נמדדת במעלות ולא ברדיאנים, הגבול והנגזרות היו כוללים פקטור תיקון שהיה מסרבל מעט את הנוסחאות, ואינו מופיע כאשר מודדים את הזווית ברדיאנים. כך, לדוגמה, [[טור טיילור]] של פונקציית ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]], כאשר הזווית נמדדת ברדיאנים, הוא:

:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
\end{align}
</math>

אם, לעומת זאת, הזווית הייתה נמדדת במעלות, מהעובדה ש-x רדיאנים שווים π''x'' /180 מעלות, היה מתקבל טור טיילור הבא:

:<math>\begin{align}
\sin x_\mathrm{deg} & = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots .
\end{align}</math>

==ראו גם==
* [[אנליזה הרמונית]]
* [[תדירות זוויתית]]
* [[סטרדיאן]] - למדידת זוויות תלת־ממדיות ([[זווית מרחבית|זוויות מרחביות]]).
* [[אלפית]] - יחידת מדידה צבאית המבוססת על הרדיאן.

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הרדיאן|שם ויקיספר=מדריך לשימוש ברדיאנים|ויקימילון=רדין}}
* {{לא מדויק|2008/01/11/radians/|כמה מעלות טובות לרדיאן עלינו}}
* {{לא מדויק|2021/08/18/trigonometry_intro_6|מה בעצם הולך בטריגונומטריה בתיכון? (חלק ו' - רדיאנים)}}
* [http://www.youtube.com/playlist?list=PL7AC5DA332587C37D שני סרטוני הסבר] - משמעות המושג וחשיבותו.
* [http://www.youtube.com/watch?v=OnTF58V40V8 סרט על רדיאנים ושימושיהם בעברית]- באתר יו-טיוב
* {{MathWorld}}

{{יחידות מידה}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:יחידות מידה: זווית]]
[[קטגוריה:טריגונומטריה]]
[[קטגוריה:מערכת היחידות הבין-לאומית]]
[[קטגוריה:פאי]]

רדיאן - היסטוריית גרסאות

imported>נהג: תיקון קישור