imported>Bustan1498 ב־17:43, 10 באוקטובר 2020

2020-10-10T17:43:47Z

דף חדש

{{פירוש נוסף|נוכחי=קבוצה צפופה במובן הטופולוגי|אחר=צפיפות של קבוצות סדורות|ראו=[[קבוצה סדורה צפופה]]}}

ב[[טופולוגיה]], תת-קבוצה <math>A</math> של [[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> נקראת '''קבוצה צפופה''', אם כל [[קבוצה פתוחה]] ולא ריקה ב-<math>X</math>, מכילה איבר מתוך <math>A</math>. תכונה זו שקולה לכך שה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של <math>A</math> שווה למרחב כולו.

אם <math>\left(X,d\right)</math> [[מרחב מטרי]], פירושו של דבר שניתן להתקרב כרצוננו לכל נקודה ב-<math>X</math> בעזרת נקודות מ-<math>A</math>: לכל <math>x \in X</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math>, יש <math>a \in A</math> המקיימת <math>d\left(x,a\right) < \varepsilon</math>.

קבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]], <math>\mathbb{Q}</math>, היא למשל צפופה בקבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], <math>\mathbb{R}</math>, עם הטופולוגיה הסטנדרטית (כלומר <math>\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}</math>). היא גם צפופה ב[[הישר של סורגנפריי|ישר של סורגנפריי]], <math>\mathbb{R}_\ell</math>.

מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]] נקרא [[מרחב ספרבילי]]. לדוגמה, קבוצת [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]] צפופה ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], שכן כל קטע פתוח בישר הממשי מכיל מספרים רציונליים (זוהי [[שדה סדור ארכימדי|תכונת הארכימדיות]] של הממשיים). לכן השדה הממשי ספרבילי.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{טופולוגיה}}

[[קטגוריה:טופולוגיה]]

קבוצה צפופה - היסטוריית גרסאות

imported>Bustan1498 ב־17:43, 10 באוקטובר 2020