imported>Ovedc: הוספת קישור לאנרגיה קינטית

2023-08-28T12:25:23Z

דף חדש

ב[[מכניקה]], '''פוטנציאל אפקטיבי''' (או: '''אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית''') מאפשר להעביר בעיה [[ממד (פיזיקה)|רב ממדית]] למימד אחד, על ידי שימוש בתכונות שימור של מערכות פיזיקליות, בפרט שימור [[תנע זוויתי]] ו[[אנרגיה]]. הפוטנציאל האפקטיבי מסומן לרוב כ-<math>\ U_{\text{eff}} </math>. יישום אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית מאפשר לפשט את [[בעיית שני הגופים]] המתארת תנועה של גופים בחלל כגון [[לוויין|לוויינים]], [[כוכב לכת|כוכבי לכת]] ואף [[כוכב כפול|כוכבים כפולים]]. השימוש בפוטנציאל אפקטיבי אפשרי כאשר פועל במערכת הפיזיקלית [[כוח מרכזי]] וניתן לתאר את התנועה סביב מרכזו באמצעות מערכת [[קואורדינטות קוטביות]].

==הגדרה==

הפוטנציאל האפקטיבי עבור בעיית כוח מרכזי מוגדר כ:
<math display="block">U_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r) </math>

כאשר <math>V(r)</math> היא ה[[אנרגיה פוטנציאלית]] ה"רגילה" ו-<math>L</math> הוא ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]].

על ידי שימוש בפוטנציאל האפקטיבי ניתן לתאר את האנרגיה הכוללת של גוף בשדה מרכזי או בבעיית שני גופים רק כתלות במרחק ביניהם ובנגזרתו; שאר הגדלים בניסוח זה הם [[קבוע תנועה|קבועי תנועה]].

==דוגמה: האנרגיה הפוטנציאלית האפקטיבית עבור גוף בשדה כבידה ניוטוני ==
[[קובץ:Two body potentials.png|שמאל|ממוזער|400px|גרף הפוטנציאל האפקטיבי ב[[בעיית שני הגופים|בעיה הדו-גופית]]]]

הפוטנציאל הכבידתי (על פי [[כבידה ניוטונית|תורת הכבידה של ניוטון]]) נתון בנוסחה:

<math>V(r) = -G \frac{mM}{r}</math>

לכן הפוטנציאל האפקטיבי הוא:

<math>U_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} -G \frac{mM}{r}\ </math>

צורת כתיבה זו מאפשרת כתיב מקוצר ויעיל עבור האנרגיה כפי שיתואר להלן:

ה[[אנרגיה]] של גוף בעל מסה m הנע תחת כוח הכבידה המרכזי הניוטוני (כלומר בהתאם לתורת הכבידה של ניוטון) מנוסחת במערכת [[קואורדינטות קוטביות|הקואורדינטות הקוטביות]] כך:

<math>E = \frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\right) - \frac{GmM}{r},</math>

כאשר:
* r הוא המרחק בין המסות
* <math>\dot{r}</math> היא המהירות הרדיאלית (קצב שינוי המרחק בין המסות)
* <math>\dot{\phi}</math> היא ה[[מהירות זוויתית|מהירות הזוויתית]]
* G הוא [[קבוע הכבידה]]
* E היא האנרגיה הכוללת של הגוף

גודל נוסף הנשמר בתנועה בכוח מרכזי הוא ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] המסומן ב-L והמנוסח במערכת הקואורדינטות הקוטביות כך:

<math>L = mr^2\dot{\phi}</math>

מן התנע הזוויתי ניתן לחלץ את <math>\dot{\phi}</math> ולהציבו באנרגיה, וכך מתקבל:

<math>E = \frac{m\dot{r}^2}{2} +\frac{L^2}{2mr^2}- \frac{GmM}{r},</math>

לפי האמור לעיל, את שני האיברים האחרונים אפשר להחליף בפוטנציאל האפקטיבי, ואז הביטוי לאנרגיה במערכת מקבל את הצורה:

<math>E = \frac{m\dot{r}^2}{2} +U_{\text{eff}}(r)</math>

צורת כתיבה זו אינה רק נוחה יותר, אלא גם משקפת נקודת מבט שונה, לפיה המערכת היא כאילו במנוחה, והאנרגיה שלה מורכבת מ[[אנרגיה קינטית]] (של המהירות הרדיאלית בלבד) + האנרגיה הפוטנציאלית האפקטיבית, שהיא סכום של האנרגיה הפוטנציאלית "האמיתית" והחלק של האנרגיה הקינטית שנובע מן המהירות הזוויתית.

== ראו גם ==
* [[מערכת ייחוס]]
* [[כוח מדומה]]

[[קטגוריה:מכניקה]]

פוטנציאל אפקטיבי - היסטוריית גרסאות

imported>Ovedc: הוספת קישור לאנרגיה קינטית