imported>חזרתי ב־13:14, 3 במאי 2026

2026-05-03T13:14:44Z

דף חדש

ב[[מתמטיקה]], '''סדרה חשבונית''' היא [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[מספר]]ים, שבה ה[[הפרש]] בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע: <math>\ a_{n+1}-a_n=d</math> (<math>a_n</math> הוא האיבר ה-<math>n</math> בסדרה). לדוגמה, בסדרה: {{משמאל לימין|3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}}, ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא מספר קבוע, במקרה זה 2. בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה [[ממוצע חשבוני]] של האיבר הקודם והאיבר העוקב לו, ומכאן שְׁמָהּ (בדומה ל[[סדרה הנדסית]] ול[[סדרה הרמונית]]).

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:
* <math>a_1</math> – האיבר הראשון בסדרה. {{עוגן|בסיס|נקרא '''בסיס''' הסדרה}}
* <math>d</math> – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה. {{עוגן|הפרש|נקרא '''הפרש''' הסדרה}}
* <math>n</math> – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או [[אינסוף|אינסופי]])
לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה.

==נוסחה לאיבר הכללי==
אם <math>a_1</math> הוא האיבר הראשון, ו-<math>d</math> הוא ההפרש, האיבר ה-<math>n</math> נתון על ידי ה[[נוסחה]]:

{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math>a_n=a_1+(n-1) \cdot d</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 2}}

=== הוכחה לנוסחת האיבר הכללי ===
[[הוכחה]] – נשתמש בתכונות [[טור (מתמטיקה)#טור טלסקופי|הטור הטלסקופי]]:
:<math>a_n-a_1 = (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+ \dots +(a_2-a_1) = d \cdot (n-1)</math>

כאשר השוויון הראשון נובע מזה שכל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים. נעביר את <math>a_1</math> אגף ויתקבל:
:<math>a_n=a_1+d(n-1)</math>

=== הוכחה נוספת ===
ניעזר [[אינדוקציה מתמטית|באינדוקציה]]: כדי להוכיח את נוסחת האיבר הכללי, נבדוק את נכונותה עבור <math>n=1</math>. במקרה זה, אכן מתקיים <math>a_1 +d \cdot (1-1) =a_1 </math>. נניח כעת שמתקיים <math>a_n=a_1+(n-1) \cdot d</math> עבור <math>n</math> ספציפי כלשהו ונוכיח שמתקיים <math>a_{n+1}=a_1+n \cdot d</math>. נשים לב שמתקיים:
:<math>a_1+n \cdot d= a_1 +nd-d+d=a_1+(n-1)d+d = a_n+d = a_{n+1}</math>, כאשר השוויון הלפני-אחרון נכון בגלל הנחת האינדוקציה.

==סכום הסדרה==
ניתן לחשב את [[סכום]] הסדרה עד האיבר ה-<math>n</math> (כולל) לפי הנוסחה:

{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math>S_n = \frac{n \cdot (a_1+a_n)}{2} = \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 2}}

=== הוכחה ===
[[קובץ:Arithmetic progression.svg|ממוזער|שמאל|150px|הוכחה ויזואלית לנוסחת הסכום: הבלוקים הדהויים הם שיקוף מסובב של הסדרה החשבונית]]
את הסכום של <math>n</math> האיברים הראשונים בסדרה <math> S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n</math>, ניתן לרשום בשני אופנים:

:<math> S_n = (a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n</math>

:<math> S_n = a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני [[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] יבטלו זה את זה יתקבל:

:<math>2S_n=n(a_1+a_n)</math>

ולכן:

:<math> S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}</math>

כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: <math>a_n=a_1+d(n-1)</math>, והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן:

:<math> S_n=\frac{n(a_1+a_1+d(n-1))}{2}=\frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}</math>

==נוסחאות נוספות==
נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: <math>S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}</math>.

=== הוכחה ===
נתונה סדרה: <math>a_1,a_2,a_3,....a_{2n}</math>, כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא <math>a_{2n}</math> (כלומר, יש <math>2n</math> איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. יש <math>2n</math> איברים בסדרה, אז יש <math>n</math> איברים שמיקומם זוגי ו-<math>n</math> איברים שמקומם אי-זוגי.

סכום האיברים הזוגיים הוא:

:<math>S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}</math>

<math>a_2</math> הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית. מכיוון שהפרש הסדרה הוא <math>d</math>, אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא <math>2d</math>, ולכן סכום האיברים הזוגיים הוא:
:<math>S_{n(even)}=\frac{n(2a_2+(n-1)2d)}{2}</math>

ניתן להציב <math>\ a_2=a_1+d</math> ב[[משוואה]] המקורית. לאחר פישוט יתקבל:
:<math>S_{n(even)}=na_1+n^2d</math>.

ניתן לעשות כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ויתקבל:
:<math>S_{n(odd)}=na_1+n^2d-nd</math>

ניתן [[חיסור|לחסר]] את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ולקבל:
:<math>S_{n(even)}-S_{n(odd)}=nd</math>

מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא <math>2n</math> ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת <math>n</math> איברים, נחלק את ה-<math>n</math> במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב <math>\frac{n}{2}</math> במקום <math>n</math>).

יתקבל: <math>S_{\frac{n}{2}(even)}-S_{\frac{n}{2}(odd)}=\frac{nd}{2}</math>

==דוגמאות==
[[קובץ:Sum-square01.png|ממוזער|250px|הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך [[מספר ריבועי]])]]
* הסכום של הסדרה החשבונית: {{משמאל לימין|1, 3, 5, ...}}, בעלת <math>n</math> איברים הוא <math>n^2</math>.
* הסכום של הסדרה החשבונית: {{משמאל לימין|2, 4, 6, ...}}, בעלת <math>n</math> איברים הוא <math>n(n+1)</math>.

==ראו גם==
* [[סדרה הנדסית]]
* [[סדרה (מתמטיקה)]]
* [[טור (מתמטיקה)]]
* [[אינדוקציה מתמטית]]

== היסטוריה ==
הנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית מתועדת ברצף היסטורי המקדים במאות שנים את הגילוי המיוחס לרוב לגאוס: ראשיתה בתלמוד הבבלי (שנחתם במאה ה-5, לפני למעלה מ-1,500 שנה), המציין את התוצאה החישובית של הסדרה; המשכה בפירוש התוספות (המאה ה-12, סביב שנת 1150), שניסח לראשונה את הכלל האלגברי המפורש ('טול חצי המניין הגדול ומכפלו במניין הגדול ויותר אחד...') והסביר את ההיגיון המתמטי של חלוקה לזוגות; ושיאה בתיעוד המודפס בדפוס ונציה משנת 1522, למעלה מ-250 שנה לפני הולדת גאוס.<ref>תלמוד בבלי, מסכת מנחות, דף ק"ו ע"א (נחתם סביב שנת 450 לספירה); פירוש התוספות שם (המאה ה-12). לתיעוד מודפס מוקדם של הנוסחה והסברה המתמטי, ראו: תלמוד בבלי, דפוס ונציה (רפ"ב/1522), מסכת מנחות.</ref>

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ימין|ויקימילון=סדרה חשבונית|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות|שם ויקיספר=סדרות חשבוניות}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:סדרות מתמטיות|חשבונית]]

סדרה חשבונית - היסטוריית גרסאות

imported>חזרתי ב־13:14, 3 במאי 2026