imported>Amire80: ניקוד

2024-06-05T17:10:29Z

ניקוד

דף חדש

[[תמונה:Ptolemy Theorem.svg|שמאל|ממוזער|מרובע שניתן לחסום במעגל]]
ב[[גאומטריה אוקלידית]], '''משפט תַּלְמַי''' מתאר קשר בין ארבע הצלעות של [[מרובע ציקלי|מרובע]] ה[[מעגל חוסם|חסום במעגל]] לבין [[אלכסון|אלכסוני המרובע]]. המשפט קרוי על שמו של ה[[מתמטיקאי]] וה[[אסטרונום]] ה[[יוון העתיקה|יווני]] בן ה[[המאה ה-2|מאה השנייה]], [[תלמי (אסטרונום)|'''פטולמאוס קלאודיוס''']] המוכר בקצרה בשם '''תַלְמַי'''.
<div style="text-align: center;">
'''ניסוח המשפט:''' אם במרובע ''ABCD'' סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני,{{ש}} כלומר: <math>\angle A + \angle C = \angle B + \angle D</math>, <br /><br />אז: <math>\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}</math>
</div>
מכיוון שכל מרובע המקיים <math>\angle A + \angle C = \angle B + \angle D</math> ניתן לחסום ב[[מעגל]],
הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא:
בכל [[מרובע ציקלי]], סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת [[אלכסון|האלכסונים]].<br />
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.

==הוכחה==

[[תמונה:Ptolemy's theorem.svg|מסגרת|none|מבנה ההוכחה של משפט תלמי]]
# יהי ABCD כך ש <math>\angle A + \angle C = \angle B + \angle D</math>
# נחסום את המרובע במעגל.
# בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד ''B'' החותך את הצלע ''AC'' בנקודה ''K'' כך ש <math>\angle ABK=\angle CBD</math> (במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
# <math>\angle BAC =\angle BDC</math>, כיוון שהן [[זווית היקפית|זוויות היקפיות]] הנשענות על אותה [[קשת (גאומטריה)|הקשת]] <math> \widehat {BC} </math>.
# משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים ''AKB'', ''DCB'' [[דמיון משולשים|דומים]], ולכן <math>\frac {AK} {AB} = \frac {CD} {BD}</math>
# <math>\angle ACB =\angle ADB</math>, כיוון שהן [[זווית היקפית|זוויות היקפיות]] הנשענות על אותה הקשת <math> \widehat {AB} </math>.
# מבניית העזר, <math>\angle ABK =\angle CBD</math>. כמו -כן <math>\angle ABD =\angle ABK + \angle KBD</math> ו- <math>\angle CBK =\angle CBD + \angle KBD</math>, ולכן <math>\angle ABD =\angle CBK</math>.
# משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים ''KBC'', ''ABD'' [[דמיון משולשים|דומים]], ולכן <math>\frac {CK} {BC} = \frac {DA} {BD}</math>
# מאחר ש -AK/AB = CD/BD ו- CK/BC = DA/BD, אזי:
## AK·BD = AB·CD ו- CK·BD = BC·DA;
## נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: AB·CD + BC·DA = (AK+CK)·BD ;
## אבל AK+CK = AC ולכן AC·BD = AB·CD + BC·DA. מ.ש.ל.

==[[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] תלמי והכיוון ההפוך למשפט==
[[תמונה:Ptolemy Inequality.svg|ממוזער|מרובע שלא ניתן לחסום במעגל]]

כל מרובע ABCD מקיים את אי-השוויון <math>\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}</math>. שוויון מתקיים [[אם ורק אם]] ניתן לחסום את המרובע במעגל.

==ראו גם==
*[[משפט סימסון]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים בגאומטריה אוקלידית|תלמי]]
[[קטגוריה:מעגל]]
[[קטגוריה:מרובעים]]

משפט תלמי - היסטוריית גרסאות

imported>Amire80: ניקוד