imported>Aizenr: /* הערות שוליים */

2026-03-03T05:12:31Z

הערות שוליים

דף חדש

ב[[טופולוגיה]], '''מרחב ספרבילי''' או '''מרחב פָּרִיד'''{{הערה|{{מילון אקדמיה|138|58560_1|מֶרְחָב פָּרִיד}}}} הוא מרחב שקיימת בו [[קבוצה צפופה]] [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]]. אינטואיטיבית פירוש הדבר הוא שקבוצה בת מנייה מאפשרת לקרב היטב כל איבר במרחב.

דוגמה למרחב ספרבילי הוא [[הישר הממשי]], משום שקבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] היא קבוצה צפופה (שכן כל [[קטע פתוח]] מכיל [[מספר רציונלי]]) וקבוצת המספרים הרציונליים היא בת מנייה. מרחב דיסקרטי [[קבוצה שאינה בת מנייה|שאינו בן מנייה]] הוא לא ספרבילי. גם ה[[מספר סודר|מספר הסודר]] הראשון שאיננו בן מנייה, עם [[טופולוגיית סדר]], אינו ספרבילי.

[[מרחב מטרי]] [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]] הוא ספרבילי (משום שהוא [[מרחב חסום כליל|חסום כליל]]). מרחב מטרי מקיים את [[אקסיומת המניה השנייה]] אם ורק אם הוא ספרבילי.

'''משפט:''' כל מרחב שמקיים את [[אקסיומות המנייה|אקסיומת המנייה השנייה]] הוא ספרבילי.

'''הוכחה:''' בהינתן מרחב טופולוגי <math>X</math> עם בסיס בן מנייה <math>\mathcal{B} = \{B_n\}_{n=1}^\infty</math>, נוכל לבחור באופן שרירותי <math>x_n \in B_n</math> לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> ולעיין בקבוצת כל הנקודות האלו, שנסמנה <math>A = \{x_n\}_{n=1}^\infty</math>. היא כמובן בת מנייה מעצם הגדרתה, ובנוסף <math>\overline{A} = X</math> (כלומר <math>A</math> צפופה): בהינתן <math>x \in X</math>, כל איבר בבסיס <math>B_n</math> המכיל אותו חותך את <math>A</math> (מעצם הגדרת <math>A</math>) ולכן <math>x \in \overline{A}</math>. <math>\blacksquare</math>

הכיוון ההפוך של המשפט שלעיל לא נכון: לא כל מרחב ספרבילי הוא מרחב מנייה שנייה. דוגמה לכך היא ה[[הישר של סורגנפריי|ישר של סורגנפריי]] <math>\mathbb{R}_\ell</math> (כלומר הישר הממשי <math>\mathbb{R}</math> עם טופולוגיית הגבול התחתון). שם מתקיים <math>\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}_\ell</math> ולכן <math>\mathbb{R}_\ell</math> ספרבילי, אך ניתן להראות שהוא לא מרחב מנייה שנייה.

מכפלה של עד (כולל) [[עוצמת הרצף]] מרחבים ספרבילים (עם [[טופולוגיית המכפלה]]) היא ספרבילית. לעומת זאת, מכפלה של יותר מעוצמת הרצף מרחבים לא טריוויאליים איננה ספרבילית.

ספרביליות אינה תכונה תורשתית. למשל, המרחב <math>\mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell</math> ספרבילי (כמכפלת שני מרחבים ספרביליים), אך האלכסון <math>L = \{(x,-x) \mid x \in \mathbb{R}\}</math> הוא תת-מרחב שלו שאינו ספרבילי.

מרחב הוא '''ספרבילי תורשתית''' אם כל תת-מרחב סגור הוא ספרבילי. קיומו של [[מרחב רגולרי]] (לרבות T0) שהוא ספרבילי-תורשתית אבל אינו [[מרחב לינדלף|לינדלף]], תלוי באקסיומות של תורת הקבוצות.

== ראו גם ==

* [[מרחב אוריסון אוניברסלי]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{טופולוגיה}}
{{מחלקות של מרחבים בטופולוגיה קבוצתית|הכלת הערות=כן}}
[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים|ספרבילי]]

מרחב ספרבילי - היסטוריית גרסאות

imported>Aizenr: /* הערות שוליים */