imported>יוניון ג'ק ב־21:05, 12 באפריל 2026

2026-04-12T21:05:00Z

דף חדש

ב[[טופולוגיה]], '''נורמליות''' ותכונת <math>\ T_4</math> הן דוגמאות לסוג חזק יחסית של [[אקסיומות ההפרדה|תכונות הפרדה]]. '''מרחב נורמלי''' הוא [[מרחב טופולוגי]] המפריד בין [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]] זרות, באמצעות סביבות פתוחות. מרחב נורמלי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא '''מרחב <math>\ T_4</math>'''.

מרחב טופולוגי הוא נורמלי, אם לכל שתי קבוצות סגורות ו[[קבוצות זרות|זרות]] A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות המכילות אחת את A ואחת את B. תכונה זו נקראת 'הפרדה בין קבוצות סגורות בקבוצות פתוחות'.
ניסוח שקול: לכל [[קבוצה סגורה]] F ו[[קבוצה פתוחה]] G כך ש <math>\ F \subset G</math>, קיימת קבוצה פתוחה V שעבורה <math>\ F \subset V \subset \overline{V} \subset G</math>.

מרחב נורמלי שבו מתקיימת התכונה <math>\ T_1</math> נקרא מרחב <math>\ T_4</math>. כל מרחב <math>\ T_4</math> הוא [[מרחב רגולרי|מרחב '''T3''']], שבו אפשר להפריד באמצעות קבוצות פתוחות בין קבוצה סגורה לנקודה, ולכן גם [[מרחב האוסדורף]], שבו אפשר להפריד בין נקודות.

[[הלמה של אוריסון]] קובעת שבמרחב נורמלי אפשר להפריד בין קבוצות סגורות וזרות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה מן המרחב ל[[קטע ממשי|קטע]] היחידה [0,1], כך ש- <math>\ f(A)=0</math> ו- <math>\ f(B)=1</math>. מכאן נובע שמרחב <math>\ T_4</math> הוא [[מרחב טיכונוף]] (הקרוי גם '''מרחב <math>\ T_{3\frac{1}{2}}</math>'''), ובפרט [[מרחב רגולרי לחלוטין]].

את הלמה של אוריסון ניתן לראות כאילו היא מאפשרת להרחיב את הפונקציה המקבלת את הערך 0 בקבוצה A ואת הערך 1 בקבוצה B, לפונקציה רציפה המוגדרת על כל המרחב.
[[משפט טיטצה]] מהווה הכללה של למה זו, בכך שהוא מאפשר להרחיב כל פונקציה רציפה: אם M קבוצה סגורה במרחב נורמלי, אז לכל [[פונקציה רציפה]] <math>\ f: M \to [0,1] \ \mbox{or} \ \mathbb{R}</math> קיימת <math>\ \phi : X \to [0,1] \ \mbox{or} \ \mathbb{R}</math> כך ש <math>\ \forall x \in M : \phi (x) = f(x)</math>.

כל [[מרחב האוסדורף]] [[קומפקטיות|קומפקטי]] הוא מרחב <math>\ T_4</math>.
חשיבותם הרבה של מרחבי <math>\ T_4</math> נובעת מן [[משפט אוריסון|המשפט של אוריסון]]: כל מרחב <math>\ T_4</math> המקיים את [[אקסיומת המנייה השנייה]], הוא מטריזבילי (כלומר: הטופולוגיה שלו מושרית על ידי [[מטריקה]] מתאימה).

=== מכפלות ===

[[הישר של סורגנפריי]] S הוא [[מרחב לינדלף]] נורמלי, ועם זאת מרחב המכפלה <math>\, S \times S</math> אינו נורמלי. '''בעיית Dowker''' (מ-1951) שאלה האם ייתכן מרחב נורמלי X כך ש-<math>X \times [0,1]</math> אינו נורמלי. דוגמה למרחב כזה ניתנה על ידי M.E.Rudin ב-1971. עדיין לא ידוע מה העוצמה המינימלית של דוגמה נגדית.

== ראו גם ==
* [[אקסיומות ההפרדה]]
* [[מרחב נורמלי לחלוטין]]
* [[מרחב נורמלי באופן מושלם]]
{{טופולוגיה}}
{{מחלקות של מרחבים בטופולוגיה קבוצתית|הכלת הערות=כן}}
[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים|נורמלי]]

מרחב נורמלי - היסטוריית גרסאות

imported>יוניון ג'ק ב־21:05, 12 באפריל 2026