imported>יוניון ג'ק ב־21:08, 12 באפריל 2026

2026-04-12T21:08:55Z

דף חדש

ב[[מתמטיקה]], '''מקרה מנוון''' של [[עצם מתמטי]] הוא [[מקרה קצה]] של העצם המקיים את [[הגדרה|הגדרתו]], אולם הוא חורג מהמאפיינים השגרתיים של העצם ולרוב הוא פשוט יותר. לעיתים המקרה המנוון אינו מקיים את הגדרת העצם אך הוא ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של סדרת עצמים המקיימים את ההגדרה.

ההחלטה האם לכלול או לא לכלול מקרה מנוון בהגדרת העצם תלויה בהקשר, והיא מבוססת על אסתטיקה ונוחות. לדוגמה, ניתן להגדיר [[משולש]] כאוסף של שלוש [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ([[קודקוד]]ים) וה[[קטע (גאומטריה)|קטע]]ים המחברים אותן ([[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות), אולם הגדרה זו כוללת משולשים מנוונים - משולשים שבהם שלוש הנקודות הן על [[ישר]] אחד. במקרה כזה משולש מנוון הוא פשוט [[קטע (גאומטריה)|קטע]] (בתוספת מידע על מיקום קודקוד עליו). הגדרה זו נוחה כאשר עוסקים ב[[אי-שוויון המשולש]], שם יש חשיבות למקרה המנוון שבו מתקיים שוויון. אולם כאשר עוסקים ב[[גאומטריה אוקלידית]], מקובל להעלים את המקרה המנוון ולהגדיר משולש בעזרת שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. זאת משום שמשולש מנוון אינו תואם את התפיסה היומיומית של משולש והוא אינו מקיים תכונות משולש חשובות, למשל הוא אינו מגדיר [[מישור (גאומטריה)|מישור]], ויש [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] שאינם מתקיימים בו, למשל המשפט: "משולש ששתיים מזוויותיו שוות זו לזו הוא [[משולש שווה-שוקיים|שווה-שוקיים]]" - שתיים מזוויותיו של משולש מנוון שוות זו לזו (הן אפס), אך משולש כזה אינו בהכרח שווה-שוקיים.

תכונות מסוימות של עצמים מתמטיים משתמרות גם במקרים המנוונים, לעיתים קרובות [[באופן ריק]]. דוגמה: גם במשולש מנוון מתקיים המשפט שמפגש ה[[אנך אמצעי|אנכים האמצעיים]] הוא מרכז ה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]], מהסיבה הפשוטה שבמשולש מנוון האנכים האמצעיים אינם נפגשים (הם מקבילים) וכלל אין מעגל חוסם (אין מעגל העובר דרך שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד). לעיתים ניאלץ להיזהר בניסוח של טענות, על מנת שיתקיימו גם במקרה המנוון. דוגמה: המשפט "ב[[משולשים דומים]], ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שטחי המשולשים שווה ליחס בין ריבועי האורך של הצלעות המתאימות" אינו מתקיים במקרה המנוון (כי הוא מדבר על [[חלוקה באפס]]), אך הוא מתקיים בניסוח השקול (המסורבל מעט יותר): "ב[[משולשים דומים]], שטח המשולש האחד שווה לשטח המשולש האחר כפול [[יחס (בין מספרים)|יחס]] ריבועי האורך של הצלעות המתאימות". הניסוח הראשון שהובא כאן הוא ניסוחו של [[אוקלידס]] בספרו "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" (כרך VI, משפט 19), וממנו (כמו ממשפטים נוספים בספר זה, ובפרט משפט 20 בכרך I: במשולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית) ברור שאוקלידס לא כלל משולש מנוון בהגדרתו של משולש.

יש דמיון בין עצמים המכונים מנוונים לעצמים המכונים [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]]ים. אולם לרוב עצם מכונה טריוויאלי בעיקר כשהוא דוגמה פשוטה ביותר לעצם, אבל אין בו איבוד משמעותי של תכונות או של [[מבנה (מתמטיקה)|מבנה]] פנימי כמו במקרה מנוון.

==דוגמאות==
* [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] היא [[קטע (גאומטריה)|קטע]] מנוון, שקצותיו מתלכדים.
* נקודה היא [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] מנוונת (ובכלל זה [[מעגל]] מנוון) כאשר ה[[רדיוס]] של הספירה הוא 0.
* מעגל הוא [[אליפסה]] מנוונת בה שני המוקדים מתלכדים.
* [[ישר]] הוא [[פרבולה]] מנוונת בה המוקד נמצא על הישר המנחה.
* ב[[משולש שווה-צלעות]] [[ישר אוילר]] מתנוון ואינו מוגדר כי כל הנקודות שמגדירות אותו מתלכדות לכדי נקודה אחת.
* ה[[פונקציה קבועה|פונקציה הקבועה]] <math>f(x) =1^x= 1</math> היא מקרה מנוון של [[פונקציה מעריכית]] שאין בה שום גידול או [[דעיכה מעריכית|דעיכה]].
* [[סדרה קבועה]] היא הן [[סדרה חשבונית]] מנוונת שהפרשה 0, והן [[סדרה הנדסית]] מנוונת שמנתה 1.
* במובן מסוים [[פולינום]] האפס הוא פולינום מנוון. בניגוד לכל פולינום אחר יש לו אינסוף [[שורש (של פונקציה)|שורש]]ים (כל איבר הוא שורש שלו) ומעלתו אינה מוגדרת (או מוגדרת כמינוס אינסוף, כשיש מובן לביטוי זה).
* מבחינה [[גאומטריה|גאומטרית]] ו[[פיזיקה|פיזיקלית]] [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] האפס הוא מקרה מנוון של וקטור, כי אין לו כיוון. אולם בהקשרים אלגבריים, בהם העניין ב[[וקטור (אלגברה)|ווקטורים]] הוא כבאיברים אלגבריים מופשטים, אין חשיבות רבה לעובדה זו.
* [[פונקציית הדלתא של דיראק]] היא [[פונקציה ממשית]] מנוונת. היא אינה מקיימת את ההגדרה של פונקציה ממשית, כי היא מקבלת את הערך אינסוף בנקודה אפס. אולם היא כן הגבול של [[סדרת פונקציות]] ממשיות תקניות מהן היא "יורשת" את תכונותיהן ומתנהגת כפונקציה ממשית תקנית.
* ה[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] המלא <math>\mathcal{R} = A\times B</math> הוא יחס בינארי מנוון, שכן כל שני איברים יקיימו אותו.
* יחס ה[[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]] הוא יחס חשוב ביותר בתור [[יחס שקילות]], אולם בתור [[יחס סדר]] הוא מנוון. הוא מאפשר להשוות רק בין שני איברים זהים, והשוואה זו טריוויאלית.
* [[מכפלה ריקה]] היא מקרה מנוון של מכפלה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] [[מספר]]ים כאשר הקבוצה היא [[הקבוצה הריקה]].
* [[התפלגות מנוונת]] היא מקרה מנוון של [[התפלגות]] בו אין כלל [[אקראיות]] וה[[משתנה מקרי|משתנה המקרי]] מקבל רק ערך אחד.
* לפי הגדרות מסוימות [[חוג (מבנה אלגברי)#דוגמאות|החוג הטריוויאלי]] (הכולל איבר יחיד <math>e</math> המקיים <math>e+e=e</math> וכן <math>e*e=e</math>) הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] מנוון. הוא מקיים את כל התכונות בהגדרת השדה, אך הוא נעדר מאפיינים חשובים של כל השדות האחרים (לדוגמה בשדה זה <math>e=0=1</math>, כלומר [[איבר האפס]] שווה ל[[איבר היחידה]] ה[[כפל|כפלי]]). מסיבה זו נהוג להוסיף להגדרת השדה את התנאי ש-0 שונה מ-1, כלומר יש לפחות שני איברים.
* ב[[תורת המשחקים]], [[משחק (תורת המשחקים)|משחק]] מנוון הוא [[משחק הדיקטטור|משחק דיקטטורי]] בו תוצאות המשחק תלויות בשחקן יחיד, ואין השפעה ל[[אסטרטגיה (תורת המשחקים)|אסטרטגיות]] של שאר השחקנים.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
[[קטגוריה:מושגים מתמטיים]]

מקרה מנוון - היסטוריית גרסאות

imported>יוניון ג'ק ב־21:08, 12 באפריל 2026