imported>סנאי: הוספת קישור לויסקואלסטיות

2026-05-22T06:45:16Z

דף חדש

[[קובץ:Bouncing ball strobe edit.jpg|שמאל|ממוזער|250px|כדורסל קופץ מדגים התנגשות אי-אלסטית.]]
ב[[מכניקה קלאסית]], '''מקדם תקומה''' הוא [[גודל פיזיקלי]] המאפיין את מידת ה[[אלסטיות]] בהתנגשות בין שני גופים. מקדם התקומה הוא מינוס הפרש המהירויות אחרי ההתנגשות חלקי הפרש המהירויות לפני ההתנגשות, כלומר
:<math>\ e=-\frac{u_2-u_1}{v_2-v_1}</math>
כאשר <math>\ v_2,v_1</math> הן מהירויות גוף 1 וגוף 2 לפני ההתנגשות, ו-<math>\ u_2,u_1</math> הן מהירויות גוף 1 וגוף 2 לאחר ההתנגשות.

מקדם תקומה שערכו אחת מציין [[התנגשות אלסטית]] לחלוטין, שבה נשמרת ה[[אנרגיה קינטית|אנרגיה הקינטית]], בעוד מקדם תקומה אפס משמעותו [[התנגשות פלסטית]] לחלוטין. מקדם תקומה בין אפס לאחת מציין התנגשות ביניים. מקדם התקומה לא מייצג את כמות האנרגיה הקינטית שהלכה לאיבוד בהתנגשות, אם כי הגדלים קשורים זה בזה.

המהירויות בנוסחה הן [[סקלר (פיזיקה)|סקלרים]], כלומר עבור התנגשות המתרחשת בממד אחד. כל התנגשות בין שני גופים ניתן לרשום בממד אחד ב[[מערכת ייחוס|מערכת הייחוס]] של [[מרכז המסה]].

מקדם התקומה של התנגשות תלוי בגורמים רבים, כגון: מידת ה[[אלסטיות]] של הגוף הפוגע, סוג המשטח בו פוגע בגוף, [[ויסקואלסטיות]] ([[חיכוך]] פנימי בתוך הגוף) ועוד. עם זאת, גם בהתנגשויות אידיאליות מהבחינות הללו (היעדר חיכוך פנימי, משטח קשיח במידה אינסופית וחומר אלסטי למדי) עדיין קיימת מגבלה בסיסית על מקדם התקומה של עצם, והוא לעולם לא יכול להיות שווה לאחד. הסיבה לכך היא ש[[מהירות הקול]] בחומר ממנו עשוי הגוף הפוגע סופית, כך שחלקים שונים שלו "יודעים" על ההתנגשות בזמנים שונים ויש הפרש בזמני התגובה שלהם. כתוצאה מסופיות מהירות הקול, הגוף לא מגיב כ[[גוף קשיח]], וחלק מהאנרגיה של ההתנגשות מועברת לרובד פנימי (רעידות פנימיות למשל) במקום לאנרגיה קינטית של מרכז המסה.

== חיזוי מקדם התקומה מתכונות החומר ==
מקדם התקומה אינו תכונה של החומר ממנו עשוי העצם בלבד מכיוון שהוא משתנה עם הצורה של הגוף והתנאים הספציפיים של ההתנגשות, אבל הוא ניתן לחיזוי מתכונות החומר וממהירות הפגיעה כאשר מפשטים את מאפייני ההתנגשות. כדי להימנע מהסיבוכים הכרוכים בתנועה סיבובית וחיכוך, נחשיב את המקרה האידיאלי של זוג עצמים כדוריים זהים, המתנגשים כך שמרכזי המסה שלהם והמהירויות היחסיות שלהן נחות כולן על ישר אחד.

עבור חומרים רבים, כמו מתכות וחומרים קרמיים, ניתן להניח שהם אלסטיים באופן מושלם כאשר ה[[מאמץ לחיצה|מאמצ]]ים המתפתחים בהתנגשות לא עוברים את ה[[היפותזות חוזק|חוזק]] שלהם, בו ניתן לראות את הגבול האלסטי שלהם. כאשר הנחה זו מתקיימת, אנרגיית ההתנגשות נאגרת באופן תאורטי במעיין אפקט-קפיצי של דחיסה אלסטית והתוצאה היא e'' = 1''. אולם הנחה זו תקפה רק למהירויות של בין 0.1m/s ל-1m/s. הגבול האלסטי נשבר במהירויות גבוהות יותר משום שכל האנרגיה הקינטית נאגרת בנקודת המגע. יותר מכך, הגבול האלסטי נשבר בחלק משטח המגע, ותוצאתו אובדן אנרגיה קינטית לדפורמציה פלסטית. ניתן להסיק את חוק הפרופורציה הבא להתנהגות האנרגיה הקינטית שלא אבדה לדפורמציה פלסטית משיקולים אלה:

<math>\% \text{impact energy available for restitution} \propto \frac{\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}} </math>

וממנו להסיק את התנהגות מקדם התקומה עבור מהירות וצפיפות נתונות:

<math>\text{coefficient of restitution} \propto \sqrt{\frac{\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}} }</math>

חוזק גבוה של החומר מאפשר לחלק גדול יותר של "[[נפח]] המגע" של החומר להישאר בתחום האלסטי. [[מודול יאנג|מודול אלסטי]] נמוך יותר מאפשר לשטח מגע גדול יותר להתפתח במהלך ההתנגשות כך שהאנרגיה מתפלגת על נפח גדול יותר מתחת למשטח בנקודת המגע. זה עוזר למנוע שבירה של הגבול האלסטי.

== מודל של מקדם התקומה של מערכות מורכבות ==
[[קובץ:מערכת-קפיצים-ומסות.jpg|שמאל|ממוזער|200px|מודל להתנגשות של גוף תיבתי בגוף בעל מסה אינסופית. באיור מוראה מערך של שני קפיצים ומסות שמתנגש ברצפה. במקרה זה, מקדם התקומה מתואר כמאפיין פנימי של הגוף, ללא קשר להתנגשות.]]
ניתן למדל גוף מורכב כמערך של ''N'' מסות שבין כל שניים מחבר [[קפיץ]] רפוי. ברגע שהגוף נכנס להתנגשות הגוף, דהיינו המערך, סופג זעזוע מסוים, וחלק מהאנרגיה הקינטית המקורית של הגוף הופך לאנרגיה ויברציונית פנימית של הגוף, כך שהגוף חוזר רק עם חלק מהאנרגיה הקינטית המקורית שלו כאנרגיית [[מרכז כובד|מרכז מסה]]. תחת ההנחה שמסתו של הגוף הגדול בין השניים אינסופית ביחס למסת הגוף הקטן בין השניים, כמו גם שלגוף הכבד קשיחות אינסופית (כך שההחזרה הופכת תלויה במבנה של הגוף הקל בלבד), ניתן לתאר את מקדם התקומה כמקדם פנימי מאפיין של הגוף לבדו, ללא קשר להתנגשות. מצב כזה מתרחש למשל בהתנגשות של גוף ברצפה. מטרת המודל הבא להעריך את מהירות החזרה ''u'' של גוף מורכב כתלות במהירות הפגיעה ''v'' ולהעריך את היחס
<math>e_{COR} = u/v </math>.

===קירוב ראשון===
כקירוב ראשון ניקח מערכת של 2 קפיצים זהים ושתי מסות זהות, מסת כל מסה m וקבוע הקפיץ k לכל קפיץ. אורכו הרפוי של כל קפיץ L, ומשקל הגופים מוזנח בבעיה. המערכת מתנגשת ברצפה במהירות v, כל הנתונים מוצגים באיור. המשוואות הדיפרנציאליות המתארות את תנועת הגופים בזמן הן:

<math>\ddot {h_1(t)} = k/m(L - h_1(t)) + k/m(h_2(t) - h_1(t) - L) </math>

<math>\ddot {h_2(t)} = -k/m(h_2(t) - h_1(t) - L) </math>

<math>h_1(t)</math> הוא מיקום המסה התחתונה כפונקציה של הזמן ו-<math>h_2(t) </math> מיקום המסה העליונה בזמן, כאשר כיוון למעלה מוגדר כחיובי.

'''פתרון המשוואות הדיפרנציאליות''':

כדי לפשט את המשוואות ראשית נציג ניסוח חלופי למשוואות באמצעות הצגת הסטייה מנקודות שיווי המשקל בגבהים h=L,2L:

<math>h_2 = X_2 - 2L </math> ו-<math>h_1 = X_1 - L </math> ואז המשוואות הדיפרנציאליות הופכות להיות:

<math>\ddot {X_1(t)} = -k/m X_1(t) + k/m (X_2(t) - X_1(t)) = k/m(X_2(t) - 2X_1(t)) </math>

<math>\ddot {X_2(t)} = -k/m(X_2(t) - X_1(t)) </math>

כעת נציג את הבעיה בייצוג [[מטריצה|מטריציוני]] ונמצא את [[אופני תנודה עצמיים|אופני התנודה העצמיים]]. הצבת פתרונות מהצורה: <math>X_1(t) = A_1e^{{iwt}}, X_2(t) = A_2e^{{iwt}} </math> מובילה להצגה:

<math>\begin{bmatrix} 2k - \omega^2m & -k \\ + k & \omega^2m - k \end{bmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0</math>

כדי שלמערכת המשוואות הזאת יהיה פתרון, על ה[[דטרמיננטה]] שלה להתאפס, מה שמוביל למשוואה ממעלה רביעית:

<math>(2k - \omega^2 m)(\omega^2 m - k) + k^2 = -(\omega^2 m)^2 + 3k(\omega^2 m) - k^2 = 0</math>

ניתן להפוך את המשוואה ל[[משוואה ריבועית]] על ידי ההצבה <math>t = \omega^2 </math> ולקבל את הפתרונות:

<math>\omega_{1,2} = \sqrt{{\frac {{3\pm \sqrt {{5}}}} {{2}}}} \omega_0</math>

כאשר <math>\omega_0 = \sqrt {{\frac{{k}} {{m}}}}</math>. נסמן כעת ב-<math>A_1,B_1 </math> את אמפליטודות התנודה של כל אחת מהמסות בתדר העצמי <math>\omega_1 </math>, ובאופן דומה נגדיר את <math>A_2, B_2 </math>. האנרגיה הקינטית של מרכז מסה שאבדה בהתנגשות שווה לאנרגיה האלסטית שנאצרה בקפיץ המחבר בין שתי המסות ברגע התנתקות הקפיץ התחתון מהקרקע כלומר, ל-: <math>\triangle E_k = \frac {{1}} {{2}}k(X_2(T) - X_1(T))^2 = \frac {{1}} {{2}}k X_2^2(T)</math> כאשר <math> t = T</math> הוא רגע ההתנתקות. לכן כל שנותר הוא להעריך את האמפליטודות <math>A_1,B_1,A_2, B_2 </math> של המסות.

תנאי ההתחלה הם <math>\dot {X_1(0)} = -V, \dot {X_2(0)} = -V </math>. יחד עם התנאי <math>\ddot {X_1(t)} + \ddot {X_2(t)} = -k/mX_1(t) </math> (תנאי זה מייצג את השוויון בין ה[[מתקף]] שמפעילה הרצפה לשינוי ה[[תנע]] של המערכת), אשר ניתן לרשמו גם כך: <math>X_1^{(3)}(t) + X_2^{(3)}(t) = -k/m\dot {X_1(t)} = -\omega_0^2 \cdot V </math>. על כך נוסף התנאי: <math>X_1^{(3)}(t) - X_2^{(3)}(t) = k/m (2\dot {X_2(t)} - \dot {X_1(t)}) </math>. ארבעת התנאים הללו מאפשרים להרכיב מערכת של 4 משוואות ליניאריות, אשר בתום תהליך חישובי ארוך ניתן להסיק מהן את התוצאה למקדם התקומה: <math>e_{COR} = 0.417 </math>. כלומר רוב האנרגיה עוברת לרובד ויברציוני פנימי. זה כמובן לא אומר דבר על ההתנהגות הגבולית של גוף חומרי אמיתי, שכן כדי למדלו צריך לפתור עבור ''N'' מסות וקפיצים כאשר ''N'' שואף לאינסוף.

===הכללה ל-N מסות וקפיצים===
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
עבור מערך של ''N'' מסות וקפיצים נקבל ''N'' משוואות דיפרנציאליות מצומדות עבור כל אחת מה[[תאוצה|תאוצות]] של המסות. כאשר <math>i < N </math> מתקיים עבור המסה ה-i (המסות ממוספרות מלמטה למעלה):

<math>\ddot X_i(t) = -(X_i(t)- X_{i-1}(t))k/m + k/m(X_{i + 1}(t) - X_{i}(t)) = k/m (X_{i + 1}(t) + X_{i-1}(t) - 2X_{i}(t)) </math>

ואילו עבור המסה העליונה (שמספרה ''N'') מתקיים:

<math>\ddot X_ N(t) = -(X_N(t)- X_{N-1}(t))k/m </math>

אם נסמן <math>k/m = \omega_0^2 </math> בניסוח מטריציוני נקבל שהנגזרת הזמנית השנייה של וקטור המצב <math>(X_1(t),X_2(t),...,X_N(t))</math> שווה למכפלה שלו במטריצה מסוימת:

<math> d^2(X_1(t),X_2(t),...,X_N(t))/dt^2 = \begin{bmatrix} -2\omega_0^2 & \omega_0^2 & 0 & \cdots & 0 \\ \omega_0^2 & -2\omega_0^2 & \omega_0^2 & 0 &\cdots \\ \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots -\omega_0^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1(t) \\ X_2(t) \\ \vdots \\ X_N(t) \end{pmatrix} </math>

התדירויות הטבעיות <math>\omega_1,\omega_2,... \omega_N </math> של המערכת בגבול שבו ''N'' שואף לאינסוף, הן למעשה ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] של המטריצה האינסופית הזאת (הערך העצמי <math>\lambda_i </math> למעשה שווה לריבוע התדירות הטבעית שמתאימה לו: <math>\omega_i^2</math>). מכאן, התגובה של גוף להתנגשות (מידת ספיגת האנרגיה שלו) תלויה בהתנהגות האסימפטוטית של הערכים העצמיים של מטריצות אינסופיות בעלת התבנית הזאת.

== השפעת אופי המשטח על מקדם התקומה ==

הפיתוח לעיל מניח התנגשות על משטח קשיח באופן אינסופי (perfectly rigid), כלומר משטח שקבוע הקפיץ שלו הוא [[אינסוף]]. אולם התוצאות בפועל של מקדם התקומה שונות באופן משמעותי. ניתן להסביר הבדל זה על ידי כך שמייחסים קבוע קפיץ <math>\beta\cdot k</math> לקפיץ החיצוני למערכת הקפיצים והמסות (הקפיץ התחתון באיור) באופן שמשקלל גם את קבוע הקפיץ של המשטח שלוקח חלק בהתנגשות כלומר כך ש-: <math>\frac {{1}}{{\beta\cdot k}} = \frac {{1}}{{k_s}} + \frac {{1}}{{k}}</math> (חיבור קפיצים בטור). ניתן להסתכל על המודל כעת כעל הבעיה של [[מתנד הרמוני|אוסצילטור הרמוני מאולץ]] - למערכת הקפיצים והמסות הפנימית יש [[תדירות]] תנודה פנימית טבעית מסוימת בעוד פועל עליה כוח מאלץ ''(F(t'' על ידי הקפיץ החיצוני. תוצאות ניסוייות מראות שלגרף של מקדם התקומה כתלות ב- <math>\beta</math> יש מינימום בנקודה מסוימת. ההסבר לכך נעוץ בתופעת ה[[תהודה]] - כאשר תדירות הכוח המאלץ תואמת את תדירות התנודה הטבעית הפנימית של המערכת נוצר "רזוננס" בין הכוח המאלץ למערכת - והמערכת סופגת יותר אנרגיה, כך שרק מעט מהאנרגיה "נשארת" למרכז המסה - רובה עובר לרובד פנימי של הגוף, כלומר לתנודות פנימיות.

==קישורים חיצוניים==
* מאמר שמסביר את קיומו של מקדם תקומה באמצעות מערכת קפיצים ומסות מופיע [http://www.laserpablo.com/baseball/Kagan/UnderstandingCOR-v2.pdf פה].

[[קטגוריה:מכניקה]]

[[de:Stoß (Physik)#Realer Stoß]]

מקדם תקומה - היסטוריית גרסאות

imported>סנאי: הוספת קישור לויסקואלסטיות