~2026-22057-63 ב־10:22, 10 באפריל 2026

2026-04-10T10:22:14Z

דף חדש

[[קובץ:Parallelogram simple.svg|ממוזער|איור של מקבילית]]
בגאומטריה, '''מקבילית''' היא [[מרובע]] בעל שני זוגות של [[צלע (גאומטריה)|צלעות]] [[ישרים מקבילים|מקבילות]].

מקרים פרטיים של מקבילית הם [[מעוין]], שכל צלעותיו באורך שווה, ה[[מלבן]], שבו כל זוג צלעות סמוכות מאונכות זו לזו, וה[[ריבוע]] שהוא מעוין וגם מלבן.

ניתן לראות במקבילית [[מקרה פרטי]] של ה[[טרפז]] (בהגדרתו המרחיבה).

[[פאון|הצורה]] ה[[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדית]] הבנויה רק ממקביליות היא ה[[מקבילון]].

המילה "מקבילית" מגיעה מהמילה היוונית παραλληλό-γραμμον (''parallēló-grammon)'', שפירושה "צורה של קווים מקבילים".

==תכונות המקבילית==

* [[קובץ:Parallelogram.svg|ממוזער|הקווים המסומנים בצורה זהה הם שווים.]]כל זוג [[זווית|זוויות]] נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

*כל זוג [[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
*ה[[אלכסון|אלכסונים]] במקבילית [[חלוקה בשתיים|חוצים]] זה את זה ומחלקים את המקבילית ל-2 זוגות משולשים חופפים, מעבר לכך, כל המשולשים שווים בשטחם.
*כל שתי זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180 מעלות.
*[[שטח]] המקבילית שווה ל[[כפל|מכפלת]] אחת הצלעות ב[[גובה (גאומטריה)|גובה]] אליה.
*סכום ריבועי האורכים של אלכסוני המקבילית שווה לסכום ריבועי האורכים של ארבע צלעותיו.

<math> BD ^2+ AC ^2 = AB ^2+ BC ^2+ CD ^2+ DA ^2 </math>

או: <math> BD ^2+ AC ^2 = 2 AB ^2+2 BC ^2 </math>

* [[כלל המקבילית]] מבדיל [[מרחב הילברט|מרחבי הילברט]] מ[[מרחב בנך|מרחבי בנך]].

== ניתן ליצור [[ריצוף של המישור]] עם כל מקבילית שהיא. ==

===משפטים הפוכים===
*כל מרובע בעל שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.
*כל מרובע בעל שני זוגות זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
*כל מרובע בעל זוג צלעות מקבילות שוות הוא מקבילית. (עם זאת, מרובע בעל זוג צלעות נגדיות שוות וזוג הצלעות השני מקבילות, אינו בהכרח מקבילית, כי הוא עשוי להיות גם [[טרפז שווה-שוקיים]])
*כל מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

=== הוכחה שהאלכסונים במקבילית חוצים זה את זה ===
[[קובץ:Parallelogram1.svg|טקסט=Parallelogram ABCD|שמאל]]
כדי להוכיח שהאלכסונים של מקבילית חוצים זה את זה, נשתמש [[משולש|במשולשים]] [[חפיפה|חופפים]]:

: <math>\angle ABE \cong \angle CDE</math> ''(זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB,CD שוות זו לזו)''
: <math>\angle BAE \cong \angle DCE</math> ''(זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB,CD שוות זו לזו)'' .
: כמו כן, הצלע ''AB'' שווה באורכה לצלע ''DC'', מכיוון שצלעות מנוגדות של מקבילית שוות באורכן.
: לכן, המשולשים ''ABE'' ו- ''CDE'' חופפים ([[משפטי חפיפה|משפט חפיפה]] זווית צלע זווית).
: מהחפיפה נובע,
:: <math>AE = CE</math>
:: <math>BE = DE</math>
: מכיוון שהאלכסונים ''AC'' ו- ''BD'' מחלקים זה את זה למקטעים באורך שווה, האלכסונים חוצים זה את זה. מ.ש.ל.
: בנוסף, מכיוון שהאלכסונים ''AC'' ו- ''BD'' חוצים זה את זה בנקודה ''E'', נקודה ''E'' היא נקודת האמצע של כל אלכסון.

==מקביליות מיוחדות==
*[[מלבן]] הוא מקבילית בעלת [[זווית ישרה]]. (או מקבילית בעלת אלכסונים שווים)
*[[מעוין]] הוא מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות. (או מקבילית בעלת אלכסונים מאונכים)
*[[ריבוע]] הוא מקבילית שהיא גם מעוין וגם מלבן. (או מקבילית בעלת אלכסונים מאונכים ושווים)

== נוסחאות שטח {{עוגן|שטח}} ==
[[קובץ:ParallelogramArea.svg|ממוזער|180px|ניתן לפרק מקבילית ולסדר אותה מחדש כמלבן בעל שטח זהה.]]
[[קובץ:Parallelogram area animated.gif|ממוזער|180px|אנימציה של נוסחת השטח: <math>K = bh</math>]]

כל [[מרובע קמור#שטח של מרובע קמור|נוסחאות השטח למרובעים קמורים כלליים]] חלות גם על מקבילית. עם זאת, קיימות נוסחאות נוספות ייחודיות למקבילית:

מקבילית בעלת בסיס <math>b</math> וגובה <math>h</math> ניתנת לחלוקה ל[[טרפז]] ול[[משולש ישר-זווית]], וניתן לסדרה מחדש כ[[מלבן]], כפי שמוצג באיור. לכן, שטח המקבילית שווה לשטח מלבן בעל אותו בסיס וגובה:

:<math>K = b h</math>

[[קובץ:Parallelogram area.svg|ממוזער|שטח המקבילית הוא השטח הכחול שבתוך המקבילית]]
ניתן לגזור את נוסחת הבסיס כפול גובה גם באמצעות האיור מימין. שטח המקבילית (השטח הכחול) הוא סך שטח המלבן פחות שטח שני המשולשים הכתומים. שטח המלבן הוא:

:<math>K_{\mathrm{rect}} = (B + A) \cdot H</math>

ושטחו של כל משולש הוא:

:<math>K_{\triangle} = \frac{A}{2} \cdot H</math>

לכן, שטח המקבילית הוא:
<math>
\begin{matrix}
K &= K_{\mathrm{rect}} - 2 \cdot K_{\triangle} \\
&= ((B + A) \cdot H) - (A \cdot H) \\
&= B \cdot H
\end{matrix}
</math>

נוסחת שטח נוספת, עבור שתי צלעות <math>B</math> ו-<math>C</math> והזווית <math>\theta</math> ביניהן, היא:

:<math>K = B \cdot C \cdot \sin \theta</math>

אם המקבילית היא [[מעוין]], ניתן לבטא את השטח באמצעות הצלעות <math>B</math>, <math>C</math> והזווית <math>\gamma</math> בין האלכסונים:<ref>Douglas W. Mitchell, "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette, July 2009.</ref>

:<math>K = \frac{|\tan \gamma|}{2} \cdot \left| B^2 - C^2 \right|</math>

כאשר ידועות אורכי שתי צלעות סמוכות <math>B</math>, <math>C</math> ואורך אלכסון <math>D_1</math>, ניתן לחשב את השטח באמצעות [[נוסחת הרון]]:

:<math>K = 2\sqrt{S(S-B)(S-C)(S-D_1)} = \frac{1}{2}\sqrt{(B+C+D_1)(-B+C+D_1)(B-C+D_1)(B+C-D_1)}</math>

כאשר <math>S = \frac{B+C+D_1}{2}</math>. הגורם 2 נובע מכך שהאלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים.

=== חישוב מהקואורדינטות של הקודקודים ===
יהיו הווקטורים <math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^2</math> ויהי <math>V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}</math> מטריצה המכילה את רכיבי הווקטורים. אזי שטח המקבילית הנוצרת על־ידי <math>\mathbf{a}</math> ו־<math>\mathbf{b}</math> הוא:

:<math>| \det(V) | = |a_1 b_2 - a_2 b_1|</math>

באופן כללי יותר, עבור <math>\mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n</math> ו־<math>V = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ b_1 & b_2 & \dots & b_n \end{bmatrix}</math>, שטח המקבילית הוא:

:<math>\sqrt{ \det( V V^\mathrm{T} ) }</math>

יהיו הנקודות <math>a, b, c \in \mathbb{R}^2</math>. אזי השטח החתום של המקבילית עם קודקודים ב־<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> שווה לדטרמיננטה של מטריצה שבנויה מהנקודות, כאשר העמודה האחרונה מורכבת מאחדות:

:<math>
K = \left| \begin{matrix}
a_1 & a_2 & 1 \\
b_1 & b_2 & 1 \\
c_1 & c_2 & 1
\end{matrix} \right|
</math>

== ראו גם ==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/גאומטריה אוקלידית/מקבילית|שם ויקיספר=מקבילית|ויקימילון=פרללוגרם|ויקימילון 2=מקבילית}}
* [[מקבילית הכוחות]]
* [[משפט וריניון]]
* [[גאומטריה סינתטית]]

== קישורים חיצוניים ==
*[https://www.lergo.org/index.html#!/public/lessons/5c1609cfedfcac7681ee75ac/intro מקבילית], באתר לרגו
*{{MathWorld|Parallelogram}}
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{מצולעים ופאונים}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מרובעים]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות סימטריות]]

מקבילית - היסטוריית גרסאות

~2026-22057-63 ב־10:22, 10 באפריל 2026