https://www.yisraelpedia.com/index.php?action=history&feed=atom&title=%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%A2%D7%95%D7%A9%D7%A8מספר מעושר - היסטוריית גרסאות2026-09-14T05:46:11Zהיסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקיMediaWiki 1.43.8https://www.yisraelpedia.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%A2%D7%95%D7%A9%D7%A8&diff=326694&oldid=previmported>AutoMod: ניקוי תבניות2025-07-04T09:14:52Z<p>ניקוי תבניות</p>
<p><b>דף חדש</b></p><div>'''מספר מעושׂר''' הוא [[מספר מצולע]] מסדר 10, משמע מספר <math>D</math> כך שניתן לסדר <math>D</math> עצמים בצורת [[מעושר]] ([[מצולע]] בעל 10 [[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות) [[מצולע משוכלל|משוכלל]]. המספר המעושר ה-n-י נתון על ידי הנוסחה <math>D_n = n(4n-3)</math>. הנוסחה היא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית למספר מצולע.<br />
<br />
עשרת המספרים המעושרים הראשונים הם:<br />
[[1 (מספר)|1]], [[10 (מספר)|10]], [[27 (מספר)|27]], [[52 (מספר)|52]], 85, 126, 175, 232, 297 ו-370.<br />
<br />
==תכונות==<br />
המספר המעושר ה-n-י [[מספר זוגי|זוגי]] כאשר n זוגי ואי-זוגי כאשר n אי-זוגי.<br />
<br />
השיטה הסטנדרטית למציאת מספרים שהם מספרים מצולעים משני סדרים שונים היא באמצעות פתרון [[משוואת פל|משוואות פל]]. משיטה זו נובע שאין מספר מעושר שהוא [[מספר ריבועי]] (למעט המקרה ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] <math>D_1 = 1^2 = 1</math>). מספרים מעושרים הם המספרים המצולעים מהסדר הקטן ביותר שטענה זו תקפה לגביהם.{{הערה|1={{OEIS|A188896|Numbers n such that there is no square n-gonal number greater than 1}}}}<br />
<br />
<math>D_n</math> הוא מספר ה[[מחלק]]ים השונים של המספר <math>48^{n-1}</math>. זאת משום שה[[פירוק מספר שלם לגורמים|פירוק לגורמים]] שלו הוא <math> 48^{n-1} = 2^{4n-4}\cdot 3^{n-1}</math>, ולכן לפי הנוסחה הידועה ל[[פונקציית המחלקים]]: <br />
:<math> d(48^{n-1}) = (4n-4+1)(n-1+1) = (4n-3)n = D_n</math>.<br />
<br />
אם מתחילים את [[ספירלת אולם]] מהמספר 0, במקום מ-1 כמקובל, המספרים המעושרים מופיעים ברצף בשורה האמצעית, המתחילה מ-1 והולכת ימינה.<br />
<br />
ב[[תורת הגרפים]], [[אינדקס וינר]] של [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] הוא סכום של [[מרחק (תורת הגרפים)|מרחק]]ים בין כל זוגות הצמתים בגרף. <math>D_n</math> הוא אינדקס וינר של הגרף המורכב משני עותקים של ה[[גרף שלם|גרף השלם]] <math>K_n</math>, המחוברים ביניהם בקשת אחת. תוצאה זו מתקבלת מחישוב ישיר פשוט: יש <math>n(n-1)+1</math> זוגות של צמתים שהמרחק ביניהם הוא 1; <math>2(n-1)</math> זוגות עם מרחק 2; ו-<math>(n-1)^2</math> זוגות עם מרחק 3. בסך הכל אינדקס וינר יוצא:<br />
:<math>1\cdot (n(n-1)+1) + 2\cdot 2(n-1) + 3\cdot (n-1)^2 = n(4n-3) = D_n</math><br />
<br />
==קישורים חיצוניים==<br />
* {{OEIS|A001107|מספרים מעושרים}}<br />
* [http://oeis.org/A001107/b001107.txt רשימת 1,000 המספרים המעושרים הראשונים]<br />
* {{MathWorld}}<br />
<br />
==הערות שוליים==<br />
{{הערות שוליים}}<br />
<br />
[[קטגוריה:מספרים מצולעים|10]]</div>imported>AutoMod