imported>Ovedc: הוספת קישור לקבוצה קומפקטית

2025-07-14T04:09:46Z

דף חדש

ב[[טופולוגיה]], '''מישור מוּר''' הוא דוגמה ל[[מרחב טופולוגי]] [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]] המקיים את [[מרחב האוסדורף|תכונת האוסדורף]], שאינו [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]] ואינו [[מרחב נורמלי|נורמלי]]. זוהי דוגמה פשוטה יחסית, ולכן נוח להיעזר בה כ[[דוגמה נגדית]] לתופעות טופולוגיות שונות.

==הגדרה==

ה[[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]] המאפיינת את מישור מור מוגדרת על המחצית העליונה של המישור האוקלידי הרגיל: <math>M = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \ge 0 \right\}</math>. המבנה הטופולוגי מוגדר באופן הבא: קבוצה פתוחה היא קבוצה המכילה, יחד עם כל נקודה שלה <math>p=(a,b)</math>, [[כדור (טופולוגיה)|כדור]] מתאים:
* [[כדור (טופולוגיה)|כדור]] מהצורה <math>B_r(a,b)=\{(x,y): (x-a)^2+(y-b)^2<r\}</math> עבור <math>0<r</math>, אם <math>b>0</math>;
* או קבוצה מהצורה <math>\{(a,b)\}\cup \{(x,y): (x-a)^2+(y-r)^2<r\}</math> עבור <math>0<r</math>, אם <math>b=0</math>.

למעט הישר הממשי, הטופולוגיה היא מטרית: חצי המישור הפתוח <math>M = \left\{ (x,y) : y >0 \right\}</math> הוא תת-מרחב [[מרחב מטריזבילי|מטריזבילי]]. לעומת זאת, בנקודה <math>(a,0)</math> שעל הישר, אפשר להרכיב [[בסיס מקומי]] מן הקבוצות <math>\{(a,0)\}\cup B</math>, כאשר <math>B</math> מייצג כדורים מהצורה <math>B_r(a,r)</math>, המשיקים לישר הממשי באותה נקודה. בטופולוגיה הרגילה, הנקודה אינה נקודת [[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של אף אחד מן הכדורים האלה.

==תכונות==

המרחב <math>M</math> הוא [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]], אבל תת-המרחב <math>X</math> המורכב מן הנקודות על ציר ה-x הוא בעל [[טופולוגיה דיסקרטית]], ובפרט (מכיוון שזו [[קבוצה שאינה בת מנייה]]) אינו ספרבילי. המרחב אינו [[קומפקטיות|קומפקטי]], ואף אינו [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי מקומית]].
{{ניווט|
כותרת=המרחב אינו קומפקטי מקומית|הסתרה=כן|מוסתר=כן|רוחב=40%|יישור=שמאל|יישור טקסט=ימין|
תוכן=
די להראות שלנקודת הראשית <math>(0,0)</math> אין סביבה קומפקטית. אם יש כזו, היא מכילה כדור מהצורה <math>B_r(0,r)</math> המשיק לישר הממשי בנקודת הראשית, והסגור שלו (כתת-קבוצה סגורה של [[קבוצה קומפקטית]]) הוא קומפקטי. לכן מספיק להוכיח שהקבוצה <math>\{(x,y): x^2+(y-r)^2\leq r\}</math> אינה קומפקטית. ואכן, קבוצה זו אפילו אינה [[קומפקטיות סדרתית|קומפקטית סדרתית]]: נקבע סדרה של נקודות על שפת הכדור המתכנסת (במובן האוקלידי, הרגיל) לנקודת הראשית. סדרה כזו אינה [[סדרה מתכנסת (טופולוגיה)|מתכנסת]] לראשית במובן של מישור מור (משום שכדורים קטנים יותר המשיקים לראשית אינם מכילים אף נקודה מן הסדרה); מאותה סיבה גם תת-סדרות שלה אינן מתכנסות לראשית. אף נקודה אחרת של הכדור אינה [[נקודת הצטברות]] של הסדרה, ולכן אין לה אף תת-סדרה מתכנסת. מכאן שהכדור הסגור אינו קומפקטי.
}}
הוא מקיים את [[אקסיומות המניה#האקסיומה הראשונה|אקסיומת המנייה הראשונה]] אבל לא את [[תכונת לינדלוף]] (ולכן אינו מקיים את [[אקסיומות המניה#האקסיומה השנייה|אקסיומת המנייה השנייה]]). המרחב הוא [[מרחב האוסדורף]], ואף מקיים את [[אקסיומות ההפרדה|תכונת ההפרדה]] [[מרחב T3|T3]], אבל אינו [[מרחב נורמלי|נורמלי]].

ניתן להוכיח כי מישור מור הוא [[מרחב בר (טופולוגיה)|מרחב בר]], זאת על אף שהוא אינו מקיים את [[משפט הקטגוריה של בר]].

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים יחידאים]]

מישור מור - היסטוריית גרסאות

imported>Ovedc: הוספת קישור לקבוצה קומפקטית