imported>Idoiz: /* פתיח */ הכפלת ו' לאחר אותיות שימוש

2025-04-04T20:38:33Z

פתיח: הכפלת ו' לאחר אותיות שימוש

דף חדש

ב[[פיזיקה]], '''כוח מרכזי''' הוא [[כוח (פיזיקה)|כוח]] שגודלו תלוי רק ב[[מרחק]] ממקור הכוח, וכיוונו [[רדיוס|רדיאלי]], כלומר ככיוון ה[[וקטור (פיזיקה)|ווקטור]] המחבר בין מקור הכוח לבין הנקודה עליה פועל הכוח.

[[מתמטיקה|מתמטית]], אם מקור הכוח נמצא בראשית ה[[קואורדינטות|צירים]], אזי הכוח הפועל על נקודה <math> \vec r </math> יהיה מן הצורה:
<math display="block"> \vec F (\vec r) = F(r)\hat r </math>
כאשר:
* <math> r=|\vec r| </math> הוא המרחק מהראשית (מקור הכח).
* <math> \hat r = \frac{\vec r}{r} </math> הוא [[וקטור יחידה]] בכיוון רדיאלי.

כוחות רבים וחשובים דוגמת כוח ה[[כבידה ניוטונית|כבידה הניוטוני]] וה[[חוק קולון|כוח הקולומבי האלקטרוסטטי]] הם כוחות מרכזיים. ה[[כוח לורנץ|כוח המגנטי]] הוא דוגמה לכוח שאינו מרכזי, כיוון שכיוונו אינו רדיאלי וגודלו תלוי ב[[מהירות]] הגוף עליו הוא פועל.

כוח מרכזי הוא מאפיין של מערכת פיזיקלית בעלת [[סימטריה]] ל[[סיבוב]].

==תכונות==
* כוח מרכזי הוא [[כוח משמר]]. כלומר:
**ה[[אנרגיה]] של גוף הנע בהשפעת כח מרכזי [[חוק שימור האנרגיה|משתמרת]].
**את הכוח ניתן [[נגזרת|לגזור]] מתוך [[אנרגיה פוטנציאלית]] על ידי <math> \vec F =-\vec\nabla V(r) </math>. הפוטנציאל <math>\ V(r) </math> תלוי אף הוא אך ורק במרחק ממקור הכוח ומכונה לפיכך '''פוטנציאל מרכזי'''.
* כאשר גוף נע בהשפעת כוח מרכזי ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] שלו [[חוק שימור|משתמר]]. הגוף ינוע ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] הניצב לכיוון וקטור התנע הזוויתי.

==פתרון משוואות התנועה הקלאסיות עבור כוח מרכזי==
בזכות תכונות אלו, בעיה של גוף הנע בהשפעת כוח מרכזי קלה יחסית לפתרון. כיוון שתנועת הגוף מוגבלת למישור נוח לעבוד ב[[קואורדינטות פולריות]] <math> r,\theta </math>. כיוון שהאנרגיה <math>\ E </math> והתנע הזוויתי <math> \vec L</math> קבועים, ניתן לכתוב:
<math display="block"> E = \frac{1}{2} m \dot r^2 +\frac{L^2}{2mr^2} +V(r) </math>

כלומר ניתן להתייחס לתנועת הגוף (בקואורדינטה r) כתנועה חד־ממדית בהשפעת '''[[פוטנציאל אפקטיבי]]''' <math> V_\mbox{eff}(r) = V(r) +\frac{L^2}{2mr^2} </math>. את המשוואה הנ"ל ניתן לפתור ברמת העיקרון על ידי [[הפרדת משתנים]] ולקבל את <math> \ r(t) </math> (אם כי רק עבור מספר מצומצם של פוטנציאלים ידוע הפתרון בצורה מפורשת). לאחר מכן ניתן לקבל את <math>\ \theta (t) </math> על ידי [[אינטגרל|אינטגרציה]] של <math> \dot\theta = \frac{L}{mr^2} </math>.

===משוואת המסלול===
בנוסף למשוואות התנועה שפתרונן הוא מיקום הגוף כפונקציה של הזמן <math>\ r(t) , \theta (t) </math>, במקרים רבים נהוג להתעניין גם במשוואת המסלול שפתרונה נותן את <math> \ r(\theta) </math> כלומר את צורת מסלול הגוף במישור בו הוא נע. לדוגמה, עבור [[בעיית קפלר]] שהיא בעיית כוח מרכזי עבור [[כוח הכבידה]], המסלולים האפשריים הם ה[[חתך חרוט|חתכים הקוניים]] - [[מעגל]], [[אליפסה]], [[פרבולה]] או [[היפרבולה]], אותם ניתן לכתוב כ:<math> r(\theta) = \frac{r_0}{1+\epsilon \cos\theta} </math>.
משוואת המסלול עבור בעיית כוח מרכזי כללי נתונה על ידי:
<math display="block"> \frac {l}{r^2}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{l}{mr^2}\frac{dr}{d\theta}\right) - \frac{l^2}{mr^3}=F(r) </math>
את המשוואה האחרונה ניתן לפשט על ידי [[החלפת משתנה|החלפת המשתנה]] <math>\ u = 1/r </math>. המשוואה המתקבלת עבור המשתנה <math>\ u </math> היא:
<math display="block"> \frac{l^2 u^2}{m}\left(\frac{d^2 u}{dt^2} +u \right) = - F\left(\frac{1}{u}\right)</math>

==פוטנציאל מרכזי ב[[תורת הקוונטים]]==
ה[[המילטוניאן]] עבור גוף הנע בהשפעת פוטנציאל מרכזי הוא מן הצורה:
<math display="block"> \mathcal{H} = \frac{\vec p^2}{2m} + V(r) </math>
במקרה זה [[אופרטור|אופרטורי]] התנע הזוויתי <math>\ L^2 , L_x, L_y, L_z </math> חילופיים עם ההמילטוניאן, ולפיכך ניתן למצוא בסיס של [[מצב עצמי|מצבים עצמיים]] משותפים להמילטוניאן, לתנ"ז הכולל <math>\ L^2 </math> ולאחר מרכיבי התנ"ז <math>\ L_z </math>. נהוג לסמן מצבים אלו ב-<math> |n,l,m\rangle </math> והם מקיימים:
<div style="text-align: center;">
<math> L_z |n,l,m\rangle = \hbar m |n,l,m\rangle </math>

<math> L^2 |n,l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |n,l,m\rangle</math>

<math> \mathcal{H}|n,l,m\rangle = E_{n,l} |n,l,m\rangle </math>
</div>

האנרגיה <math>\ E_{n,l} </math> אינו תלויה במספר הקוונטי m (כלומר בכיוון התנע הזוויתי), אי לכך יש [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]] של (לפחות) <math> \ 2l+1 </math> באנרגיה.

[[פונקציית גל|פונקציית הגל]] של המצב תהיה מן הצורה: <math>\psi(\vec r) = R_{n,l} (r) Y_{l,m}(\theta,\phi) </math>, כאשר <math>\ Y_{l,m}(\theta,\phi) </math> היא הפונקציה הספרית הרמונית, והפונקציה הרדיאלית <math>\ R_{n,l}(r) </math> היא פתרון של המשוואה:
<math display="block"> \left [ -\frac{\hbar^2}{2m} \Biggl(\frac{\partial^2 }{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial }{\partial r} - \frac{ l(l+1)}{r^2}\biggr) +V(r)\right ]R(r) = E_{n,l}R(r) </math>

==ראו גם==
*[[בעיית קפלר]]
*[[כח משמר]]
*[[כח משיכה]]

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* H. Goldstein, Classical Mechanics
</div>

[[קטגוריה:כוחות פיזיקליים|מרכזי]]

כוח מרכזי - היסטוריית גרסאות

imported>Idoiz: /* פתיח */ הכפלת ו' לאחר אותיות שימוש