imported>Yishaybg ב־20:45, 6 בנובמבר 2024

2024-11-06T20:45:02Z

דף חדש

'''חוק גאוס למגנטיות''' הוא [[חוק פיזיקלי]] העוסק ב[[מגנטיות]], והוא אחת מארבע [[משוואות מקסוול]] אשר עומדות בבסיס התורה ה[[אלקטרומגנטיות|אלקטרומגנטית]] הקלאסית.
על פי חוק זה סך ה[[שטף]] המגנטי דרך מעטפת סגורה שווה אפס. בניסוח מתמטי:
{{משוואה
|הזחה=:
|משוואה=<math> = 0</math>{{משמאל לימין|<math>\Phi_B =</math>{{oiint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle _S}</math>|integrand=<math>\mathbf{\ B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math>}}}}
|צבע מסגרת = #50C878
|צבע רקע = #ECFCF4
}}

כאשר <math>\mathbf{B}</math> מציין את השדה המגנטי ו־'''<math>\mathbf{S}</math>''' הוא הווקטור הניצב למשטח המעטפת. ניתן לומר בצורה פשוטה יותר כי אם נבחר [[מעטפת (מתמטיקה)|מעטפת]] סגורה כלשהי, אז כל [[קווי שדה]] של [[שדה מגנטי|השדה המגנטי]] שנכנסים אליה חייבים גם לצאת ממנה, ללא תלות בצורתה, מקומה במרחב או גודלה. זו היא הצורה האינטגרלית לחוק.

החוק מופיע גם בצורה דיפרנציאלית:
{{משוואה
|הזחה=:
|משוואה = <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
|צבע מסגרת = #0073CF
|צבע רקע = #f5f9ff}}

קרי, [[דיברגנץ]] השדה המגנטי מתאפס. החוק בצורתו הדיפרנציאלית מראה כי השדה המגנטי הוא [[שדה וקטורי סולנואידי]]. ניתן להגיע מצורה אחת לאחרת על ידי [[משפט גאוס]] ('''משפט''' מתמטי להבדיל מ'''חוק''' פיזיקלי).

שתי הצורות לחוק שקולות לקביעה כי לא קיימים [[מונופול מגנטי|מונופולים מגנטיים]].

== הסקת חוק גאוס למגנטיות מחוק ביו-סבר ==
צורתו הדיפרנציאלית של חוק גאוס למגנטיות נובעת מיידית מ[[חוק ביו-סבר]], המתאר כיצד אלמנט שדה מגנטי נוצר על ידי אלמנט [[זרם חשמלי]]. עבור שדות מגנטיים כלליים יותר, הנוצרים על ידי מערכות של זרמים, חוק גאוס למגנטיות נובע מ[[סופרפוזיציה|עקרון הסופרפוזיציה]], שכן אם נתונים כמה שדות וקטוריים שהדיברגנץ של כל אחד מהם מתאפס בכל המרחב, גם הדיברגנץ של סכום השדות מתאפס בכל המרחב.

חוק ביו-סבר שקול לחוק גאוס למגנטיות. לשם ההוכחה, תוגדר [[קואורדינטות כדוריות|מערכת קואורדינטות כדורית]] שראשיתה במקטע הזרם האינפיניטסימלי, אשר ציר <math>z</math> שלה (הציר שביחס אליו נמדדת הזווית <math>\theta</math>) מכוון לאורך מקטע הזרם. חוק ביו-סבר:

:<math>d\vec{B} = \frac{\mu_0 I dl}{4\pi} \frac{\hat{l}\times \hat{r}}{r^2}</math>

מתכונות [[מכפלה וקטורית|המכפלה הווקטורית]] עולה שהשדה המגנטי מכוון בכל מקום בניצב למישור הנפרש על ידי <math>\hat{r}</math> (הכיוון הרדיאלי) ו-<math>\hat{dl}</math> (כיוון ציר <math>z</math>). מישור זה חותך בדיוק קו אורך יחיד מהכדור שרדיוסו <math>r</math>; במילים אחרות, גם הרכיב הרדיאלי <math>B_{r}</math> וגם הרכיב הקוטבי <math>B_{\theta}</math> של השדה המגנטי מתאפסים, ונשאר רק הרכיב האזימוטלי <math>B_{\varphi}</math> (במקביל לקו הרוחב). מתכונות המכפלה הווקטורית (<math>|\vec A\times\vec B | =|A||B|\sin\theta</math>) עולה שרכיב השדה המגנטי האזימוטלי, שבמקרה זה הוא גודל השדה המגנטי בכללו, הוא:

:<math>B_{\varphi}=\frac{\mu_0 I dl}{4\pi} \frac{\mathbb{sin}\theta}{r^2}</math>

לכן הנגזרת של רכיב השדה המגנטי האזימוטלי לפי קואורדינטת האזימוט <math>\varphi</math> מתאפסת.

הגדרת [[אופרטור]] הדיברגנץ בקואורדינטות כדוריות:

: <math>\vec \nabla \mathbf{\cdot}\vec B = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 B_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial (B_\theta \sin \theta)}{\partial \theta}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial B_\varphi}{\partial \varphi}</math>

מהגדרה זו נובע שדיברגנץ השדה המגנטי מתאפס – שני האיברים הראשונים מתאפסים כי לשדה המגנטי אין רכיבים רדיאליים וקוטביים, ואילו האיבר השלישי מתאפס כי השדה המגנטי האזימוטלי קבוע בגודלו, ולכן נגזרתו היא אפס.

תמונת השדה המגנטי המצטיירת מן החישוב הזה (קווי השדה המגנטי מקיפים את הכדור בכיוון האזימוטלי בלבד) עשויה להידמות כסותרת את האינטואיציה הבסיסית לפיה קווי השדה המגנטי יוצאים מקוטב מגנטי אחד ונכנסים אל הקוטב השני (כך שקווי השדה מתקדמים גם בכיוון הקוטבי). בפועל, זרמים במציאות לעולם לא מופיעים במקטעים סופיים, אלא בלולאות סגורות בעלות [[מומנט מגנטי]] (כך גם צומח השדה של [[מגנט]] תמידי מתוך לולאות הזרם המיקרוסקופיות שבו). מהבדל זה נובע השוני בתמונת קווי השדה המגנטי.

==ראו גם==
* [[משוואות מקסוול]]
* [[חוק גאוס]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

[[קטגוריה:מגנטיות]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]
[[קטגוריה:קרל פרידריך גאוס]]

חוק גאוס למגנטיות - היסטוריית גרסאות

imported>Yishaybg ב־20:45, 6 בנובמבר 2024