imported>דוד שי: /* קישורים חיצוניים */ קטגוריה:תורת השמורות

2025-06-22T06:52:47Z

דף חדש

ב[[תורת החוגים]], '''חוג הפולינומים''' מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] נתון, הוא חוג המרחיב את החוג הנתון על ידי הוספת [[משתנה]] חופשי (בדרך כלל [[פעולה קומוטטיבית|מתחלף]]) בלתי תלוי. בחוג זה נמצאים כל ה[[פולינום|פולינומים]] מכל הדרגות שמקדמיהם הם איברים של החוג הנתון. בהינתן חוג <math>R</math>, בדרך כלל מסמנים את חוג הפולינומים שלו ב-<math>R[x]</math>. בין חוג לחוג הפולינומים שלו יש קשר הדוק, המהווה נושא בסיסי ב[[אלגברה מופשטת]] וב[[תורת החוגים]].

חוג הפולינומים הוא כלי בסיסי בנושאים רבים במתמטיקה, בפרט ב[[אלגברה קומוטטיבית]], [[גאומטריה אלגברית]], [[תורת המספרים האלגברית]] ועוד.

==הגדרה==
יהי <math>R</math> [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] חילופי נתון. ניתן להגדיר את חוג הפולינומים <math>R[x]</math> בשתי הגדרות שקולות:

===פולינומים===
ההגדרה הטבעית והישירה לחוג זה היא הקבוצה שמכילה את כל ה[[פולינום|פולינומים]] במשתנה בלתי תלוי x:
<math>R[x]=\left\{ { a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }|n\in N;{ a }_{ 0 },..,{ a }_{ n }\in R \right\} </math>.

*[[אופרטור|פעולת]] ה[[חיבור]] מוגדרת רכיב-רכיב, כלומר אם <math>m\le n</math> אזי <math>\sum _{ i=0 }^{ n }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } +\sum _{ i=0 }^{ m }{ { b }_{ i }{ x }^{ i } } =\sum _{ i=0 }^{ m }{ { ({ a }_{ i }+b }_{ i }){ x }^{ i } } +\sum _{ i=m+1 }^{ n }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } </math>.

כך למשל <math>({ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }+1)+({ x }^{ 4 }+3{ x }^{ 2 }+6)={ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }+7</math>.

*[[אופרטור|פעולת]] ה[[כפל]] מוגדרת על ידי ה[[יחס (תורת הקבוצות)|יחסים]] <math>({ a }_{ i }{ x }^{ i })({ b }_{ j }{ x }^{ j })=({ a }_{ i }{ b }_{ j }){ x }^{ i+j }</math> ו[[חוק הפילוג]].

כך למשל <math>(x+2)\cdot (2{ x }^{ 2 }+9)=2{ x }^{ 3 }+4{ x }^{ 2 }+9x+18</math>.

*איבר האפס הוא הפולינום בו כל המקדמים הם האפס של החוג.

* אם לחוג המקורי יש [[איבר יחידה]], אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה, והיא אותו הפולינום עבורו <math>{ a }_{ 0 }=1,{ a }_{ 1 }={ a }_{ 2 }=...=0</math>.

===סדרות עם תומך סופי===
דרך הגדרה נוספת על ידי [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]] [[אינסוף|אינסופיות]] עם [[תומך (מתמטיקה)|תומך]] סופי, של איברים מהחוג המקורי:
<math>R[x]=\left\{ ({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)|n\in N;{ a }_{ 0 },{ a }_{ 1 },...{ a }_{ n }\in R \right\} </math>.

*פעולת החיבור - מתבצעת רכיב רכיב, כלומר: <math>({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)+({ b }_{ o },{ b }_{ 1 },...,{ b }_{ m },0,0,....)=({ a }_{ o }+{ b }_{ o },...)</math>

*פעולת הכפל - נובעת מחוקי [[קונבולוציה]], כלומר האיבר ה-<math>i</math> במכפלה <math>({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)\cdot ({ b }_{ o },{ b }_{ 1 },...,{ b }_{ m },0,0,....)</math> הוא <math>\sum _{ j=0 }^{ i }{ { { a }_{ j }b }_{ i-j } } </math>.

*איבר האפס הוא סדרת אפסים, כלומר <math>(0,0,...)</math>.

* אם לחוג המקורי יש [[איבר יחידה]], אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה - <math>(1,0,0...)</math>.

בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי כל אחת מהקבוצות הנ"ל עם ה[[אופרטור|פעולות]] המתאימות היא חוג.

===שקילות ההגדרות===
ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חוגים|איזומורפיזם]] בין שני המבנים, הנתון על ידי
<math>({ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n },0,0,....)\mapsto { a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }</math>.

==דרגה==
בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר [[פונקציה]] מחוג הפולינומים לתוך ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], שתתאים לכל פולינום <math>p(x)={ a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }</math> את המספר הטבעי המקסימלי עבורו <math>{ a }_{ n }\neq 0</math>, שיקרא ה'''דרגה''' או ה'''מעלה''' של הפולינום, ונסמנו <math>\deg(p(x))</math>. לעיתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים <math>\deg(0)=-\infty </math>.

הדרגה מקיימת <math>\deg(p(x) \cdot q(x)) \le \deg(p(x))+\deg(q(x))</math> לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים ב[[תחום שלמות]].

==תכונות יסודיות==
כעת נציג את הקשר בין [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] נתון לחוג הפולינומים שלו.

*אם <math>S</math> [[תת חוג]] של <math>R</math>, אזי גם <math>S[x]</math> תת-חוג של <math>R[x]</math>.
*חוג הוא [[תחום שלמות]] [[אם ורק אם]] חוג הפולינומים שלו הוא [[תחום שלמות]].
*<math>R[x]</math> איננו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] באף מקרה, שכן <math>x</math> אינו הפיך.
*חבורת ההפיכים של <math>R[x]</math> מכילה את חבורת ההפיכים של <math>R</math>, ושווה לו במקרה ש-<math>R</math> תחום (עם זאת, בחוג <math>\mathbb{Z}_4[x]</math> האיבר <math>1+2x</math> הופכי לעצמו).
* כמסקנה מ[[הלמה של גאוס (פולינומים)|הלמה של גאוס]], חוג הוא [[תחום פריקות יחידה]] אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא [[תחום פריקות יחידה]].
*אם <math>R</math> הוא חוג [[פעולה קומוטטיבית|חילופי]] עם [[איבר יחידה]], <math>R</math> הוא שדה אם ורק אם <math>R[x]</math> [[תחום ראשי]] ואם ורק אם <math>R[x]</math> הוא [[תחום אוקלידי]].
*לפי [[משפט הבסיס של הילברט]], חוג הוא [[חוג נותרי|נתרי]] אם ורק אם חוג הפולינומים שלו נתרי.

חלק מהתוצאות ניתן להכליל לחוגים במספר משתנים (ראו בהמשך).

==פריקות פולינומים==
נאמר כי [[פולינום]] <math>p(x)</math> הוא '''פריק''' אם קיימים פולינומים <math>a(x),b(x)</math> לא הפיכים כך ש-<math>p(x)=a(x)b(x)</math>. אחרת, נאמר כי הפולינום הוא אי-פריק. פריקות פולינומים היא מנושאי היסוד של תורת החוגים ונושא זה בפרט. נציין מספר תכונות:
*ב[[תחום שלמות]], הפירוק היחיד האפשרי לפולינום מהצורה <math>{x}^{n}</math> הוא מהצורה <math>{x}^{n}=(a{x}^{t}) \cdot (b{x}^{s})</math> כאשר <math>ab=1</math> וכן <math>s+t=n</math>.
*[[פולינום פרימיטיבי]] הוא פריק מעל [[תחום פריקות יחידה]] אם ורק אם הוא פריק מעל [[שדה שברים|שדה השברים]] שלו.
*[[קריטריון אייזנשטיין]] מספק מבחן לפריקות של פולינום <math>p(x)={ a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }</math>- אם <math>R</math> [[תחום שלמות]] ו-<math>I</math> [[אידיאל ראשוני]], אזי אם <math>{ a }_{ o },{ a }_{ 1 },...,{ a }_{ n-1 }\in I,{ a }_{ o }\notin { I }^{ 2 },{ a }_{ n }\notin I</math>, אז הפולינום אי-פריק.
*ב[[תחום שלמות]], פולינום <math>p(x)</math> הוא אי-פריק ב-<math>R[x]</math>, אם ורק אם [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>R[x]/\langle p(x) \rangle</math> הוא שדה.

==שורשים של פולינומים==
בהינתן [[פולינום]] <math>p(x)={ a }_{ o }+{ a }_{ 1 }x+...+{ a }_{ n }{ x }^{ n }</math> מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר <math>r \in R</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של הפולינום, אם <math>p(r)=0</math>. איבר <math>r \in R</math> הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום <math>x-r</math> [[מחלק]] את <math>p(x)</math>. בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק. נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.

טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל [[חוג המספרים השלמים]] ו[[שדה שברים]] שלו (ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]]) היא כלהלן - אם <math>\frac { a }{ b } \in \mathbb{Q}</math> שורש של פולינום, אזי <math>a|{a}_{0}, b|{a}_{n}</math>.בפרט, כל שורש שלם של [[פולינום מתוקן]] מחלק את המקדם החופשי שלו.

==הרחבות==
ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.
===חוגי פולינומים במספר משתנים===
בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד. לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה. כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים. מספר המשתנים יכול להיות סופי ו[[אינסוף|אינסופי]]. למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב-<math>R[x,y]:=R[x][y]</math>.

נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים. מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.

עם זאת, חוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.

===חוג טורי החזקות===
בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד. אם נשמיט דרישה זו, נקבל את '''חוג טורי החזקות''' מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי:
<center>
<math>R[[x]]=\left\{ \sum _{ i=0 }^{ \infty }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } |{ a }_{ i }\in R \right\} </math>
</center>
בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל <math>1-x</math> הפיך וההפכי שלו הוא <math>\sum _{ i=0 }^{ \infty }{ { x }^{ i } } </math>. באופן כללי, כל איבר בעל מקדם חופשי הפיך הוא הפיך.

בפרט, אם <math>R=\mathbb{F}</math> שדה, כל איבר עם מקדם חופשי הוא הפיך, ולכן ה[[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]] של החוג <math>\mathbb{F} [[x]]</math> הם <math>\forall k \in \mathbb{N}: \langle x^k \rangle</math> בלבד, ובפרט הוא [[תחום ראשי]].

===חוג טורי לורן===
חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה <math>\sum _{ i=-n }^{ \infty }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } </math>. נהוג לסמן חוג זה על ידי:
<center>
<math>R((x))=\left\{ \sum _{ i=-n }^{ \infty }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } |n\in \mathbb{N},\ { a }_{ i }\in R\right\} </math>
</center>
במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי <math>\widetilde { \deg } \left(\sum _{ i=-n }^{ \infty }{ { a }_{ i }{ x }^{ i } } \right)=-n</math>, כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס. פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.

התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה <math>\mathbb {F}</math>, אזי <math>\mathbb {F}((x))</math> אף הוא שדה. כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.

==שדה השברים ==
בהינתן תחום שלמות <math>R</math>, גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות. לכן, בהתאם לבנייה של [[שדה שברים]] של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים הוא
<center>
<math>R({x}_{1},...,{x}_{n})=\left\{ \frac {p({x}_{1},...,{x}_{n})} {q({x}_{1},...,{x}_{n})} :p,q \in R[{x}_{1},...,{x}_{n}], q(x) \neq 0 \right\}</math>
</center>
לשדה זה קוראים '''שדה הפונקציות הרציונליות''' ב-<math>n</math> משתנים.

== חוגי מנה ==
ל[[חוג מנה|חוגי מנה]] של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.

במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא [[תחום ראשי]]. במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה <math> R[x]/\langle p(x)\rangle</math>. חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום <math>p</math> היוצר את האידיאל הוא אי-פריק. כך אפשר לייצר את ה[[שדה סופי|שדות סופיים]] מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) -- אם בוחרים <math>R=\mathbb {Z} _ {p}</math> <math></math> [[חשבון מודולרי|שדה השאריות מודולו]] p, מספיק למצוא פולינום אי-פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר <math>p^{k}</math>. פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.

בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים [[הרחבת שדות]] בה לפולינום יש שורש, והוא <math>x+\langle f(x)\rangle</math>.

באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגבראות]].
יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל ה[[אלגברה אפינית|אלגבראות האפיניות]] -- בהינתן אלגברה אפינית <math>R[a_{1},..,a_{n}]</math>, ההעתקה q שנתונה על ידי <math>x_{i} \mapsto a_{i}</math> היא [[הומומורפיזם|אפימורפיזם]] מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי [[משפטי האיזומורפיזם#משפט האיזומורפיזם הראשון|משפט האיזומורפיזם הראשון]]
<math>R[x_{ 1 },..,x_{ n }]/\ker(q)\cong R[a_{1},..,a_{n}]</math>.

==מבנה כאלגברה==
למבנה [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] הפולינומים יש תפקיד מכריע ב[[אלגברה קומוטטיבית]] וב[[גאומטריה אלגברית]].

כאמור, כל [[אלגברה אפינית]] היא מנה של אלגברת פולינומים. יתר על כן, כל אלגברה אפינית מכילה תת-אלגברת פולינומים מעליה היא מהווה [[מודול נוצר סופית]]. אכן, לפי [[משפט הנורמליזציה של נתר]], בכל אלגברה אפינית <math>R= \mathbb{F} [a_1,...,a_n]</math>, ניתן לחלץ איברים <math>b_1,...,b_d,...,b_n</math> כך שהאיברים <math>b_1,...,b_d</math> מהווים בסיס טרנסצנדנטי, ו-<math>R= \mathbb{F} [b_1,...,b_n]</math> [[איבר אלגברי|שלם]] מעל <math>C= \mathbb{F}[b_1,..,b_d]</math>, שהיא למעשה אלגברת פולינומים ב-<math>d</math> משתנים.

אם כן, מתכונות של אלגברות פולינומים ניתן להסיק תכונות של אלגברות אפיניות. כך למשל, ניתן להוכיח שכל [[אידיאל מקסימלי]] באלגברה אפינית הוא בעל [[ממד קרול|גובה]] כדרגת הטרנסצנדנטיות <math>d</math>. ניתן גם להוכיח בעזרת ההבחנה הנ"ל שלכל אלגברה אפינית דרגת הטרנסצנדנטיות שווה ל[[ממד קרול]] שלה. לכן, הממד של [[יריעה אלגברית אפינית]] שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות של [[יריעה אלגברית אפינית#חוג הקואורדינטות והממד של יריעה|חוג הקורדינאטות]] שלה.

=== חבורת האוטומורפיזמים ===

כל האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה הם אפיניים. [[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של חוג הפולינומים בשני משתנים היא [[מכפלת היתוך]] של האוטומורפיזמים האפיניים והאוטומורפיזמים השומרים על אחד המשתנים (החבורה נוצרת על ידי [[אוטומורפיזם]] ההחלפה, והאוטומורפיזמים השומרים על משתנה מסוים; ההוכחה במאפיין אפס ניתנה על ידי Jung, ומעל שדה כללי על ידי Van der Kulk). חבורת האוטומורפיזמים בשלושה משתנים או יותר כוללת גם אוטומורפיזמים "פרועים" (Anick conjecture).

ראו גם [[השערת היעקוביאן]] ו[[השערת דיקסמייר]] [https://arxiv.org/pdf/2410.06959] (ידוע שהשערת דיקסמייר על [[אלגברת וייל]] <math>A_n</math> גוררת את השערת היעקוביאן ב-n משתנים, ונובעת מההשערה ב-2n משתנים).

חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים קרובה לזו של ה[[אלגברה חופשית|אלגברה החופשית]] באותו מספר של משתנים. בעניין זה הוכיח Dicks שההתאמה x,y-->f,g מגדירה אוטומורפיזם של האלגברה החופשית בשני המשתנים x,y אם ורק אם [f,g] הוא כפולה בסקלר של [x,y].

==ראו גם==
* [[פולינום]]
* [[הלמה של גאוס (פולינומים)]]
* [[משפט הבסיס של הילברט]]
* [[פירוק ריט]] על פולינומים ביחס לפעולת ההרכבה.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:פולינומים]]
[[קטגוריה:תורת השמורות]]

חוג פולינומים - היסטוריית גרסאות

imported>דוד שי: /* קישורים חיצוניים */ קטגוריה:תורת השמורות